Алгебра логики распределительный закон

Законы алгебры логики


Законы алгебры логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить равносильные преобразования логических выражений.

Ниже приводятся основные законы для логических операций. Используя законы алгебры логики, можно осуществлять тождественные преобразования формул, упрощать такие формулы. Это необходимо при создании логических схем и конструировании BEAM-роботов.

Законы Де Моргана

Правила операций с константами

Законы инверсии (отрицания)

Снятие двойного отрицания

Кроме логических законов важное значение при упрощении выражений может иметь знание следствий из законов и правил логической алгебры.


Последнее следствие может быть представлено и следующим образом:

Знак отрицания над выражением дает возможность опустить скобки, в которые это выражение заключено (отрицание является самой старшей логической операцией).

При упрощении выражений следует помнить старшинство операций: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Сайт находится в разработке, поэтому, пожалуйста, проявите снисходительность к тому, что материалов, пока мало.

В скором времени материалы появятся.

Свободный монтаж в BEAM-робототехнике
Один из наиболее распространенных способов монтажа при создании BEAM-роботов.

beam-robot.ru

МИР ЛОГИКИ

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Закон

Формулировка

1. Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе.

2. Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Следовательно, результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина».

3. Закон непротиворечия

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.

4. Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание.

5. Переместительный (коммутативный) закон

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

6. Сочетательный (ассоциативный) закон

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон

(X /\ Y) \/ Z= (X /\ Z) \/ (Y /\ Z)

(X /\ Y) \/ Z = (X \/ Z) /\ (Y \/ Z)

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

7. Закон общей инверсии Закон де Моргана

Закон общей инверсии.

8. Закон равносильности (идемпотентности)

от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный

mir-logiki.ru

Электростанции

  • Меню сайта
    • Организация эксплуатации
    • Электрические схемы
    • Турбогенераторы
    • Трансформаторы и автотрансформаторы
    • Распределительные устройства
    • Электродвигатели
    • Автоматика
    • Тепловая изоляция
    • Регулирование энергоблоков
    • Тяговые подстанции
    • Выпрямители и зарядные устройства
    • Проектирование электрических сетей и систем
    • Электрооборудование электротермических установок
    • Электрооборудование земснарядов
    • Цифровая электроника
    • Меню раздела

      Аксиомы и тождества алгебры логики

      Аксиомы

      Правила для логической операции переменной величины с константой или переменной величины с самой собой или ее инвертированным значением называются аксиомами.
      Обозначим некоторую переменную величину как А. Все, что верно для А, верно и для любой другой переменной величины. На рис. 4.6 изображены четыре возможные аксиомы логического умножения. Для представления
      инверсии А применен нормально-замкнутый контакт. Он замкнут, если главный выключатель разомкнут. И размыкается при замыкании главного
      выключателя. Таким образом, при А л А один из последовательно включенных ключей всегда разомкнут и в линии имеет место разрыв (0).
      Представление аксиом алгебры логики в виде простых схем очень наглядно. Также аксиомы можно изобразить в виде таблиц истинности (рис. 4.7).
      Аксиомы для логической операции сложения ИЛИ следуют из рис. 4.8. Операцию ИЛИ можно изобразить в виде параллельного включения контактов.
      Если переменная инвертируется и затем еще раз инвертируется, то она принимает первоначальное значение (рис. 4.9). Два штриха инверсии над переменной не меняют ее состояния.
      Девять аксиом пронумерованы от 1 до 9. Под этими номерами они далее приводятся в сборнике формул.

      Законы коммутативности и ассоциативности

      Закон коммутативности еще называют переместительным законом. Он применяется для логического сложения и умножения и интуитивно понятен из схем на рис. 4.10 и 4.11.
      Результат операции логического умножения И не зависит от порядка обработки переменных.
      Результат операции логического сложения ИЛИ не зависит от порядка обработки переменных.

      Рис. 4.6. Аксиомы логического умножения И.
      Рис. 4.7. Таблицы истинности для аксиом логического умножения И.
      Рис. 4.9. Аксиомы логического отрицания НЕ.
      Рис. 4.10. Переместительный закон для операции логического умножения И.
      Рис. 4.8. Аксиомы логического умножения «ИЛИ».
      Рис. 4.11. Переместительный закон для операции логического сложения «ИЛИ».
      Рис. 4.12. Сочетательный закон для операции логического умножения «И».
      Рис. 4.13. Сочетательный закон для операции логического сложения «ИЛИ».

      Закон ассоциативности еще называют сочетательным законом. Он применяется для логического умножения (рис. 4.12) и сложения (рис. 4.13).
      Результат операции логического умножения «И» не зависит от порядка обработки переменных.
      Результат операции логического сложения ИЛИ не зависит от порядка обработки переменных.

      Дистрибутивный закон

      Дистрибутивный закон также называют распределительным законом. Распределительный закон логического умножения по отношению к сложению играет большую роль на практике при преобразовании логических выражений.
      Различают конъюнктивный распределительный закон и дизъюнктивный распределительный закон. Конъюнктивный распределительный закон записывается как
      Z = А А (В V С) = (Л А В) V (А а С).
      Переменная А в операции логического умножения И «распределяется» по переменным Б и С. Схема на рис. 4.14 доказывает правильность этого тождества. Так как оба контакта А могут коммутироваться только одновременно, узлы 1 и 2 можно соединить без изменения действия схемы.
      Чтобы еще лучше пояснить этот закон, тождество проверяется таблицей истинности (рис. 4.15). Состояния переменных в колонках Xu Yодинаковы. Значит, конъюнктивный распределительный закон верен.
      Дизъюнктивный распределительный закон записывается как

      Z = A v (Б л С) = (A v 6) л (A v С).
      Переменная А в операции логического сложения ИЛИ «распределяется» по переменным В и С. Схема на рис. 4.16 доказывает правильность этого тождества. Так как оба контакта А могут коммутироваться только одновременно, схему можно преобразовать, как это изображено на рис. 4.16, без изменения действия схемы.

      Советуем самостоятельно проверить последнее тождество таблицей истинности аналогично таблице на рис. 4.15.
      Покажем применение дизъюнктивного распределительного закона на примере. Упростим выражение
      Z = (К v Л/)л(К v М).
      Согласно дизъюнктивному распределительному закону оно преобразуется:
      Рис. 4.16. Дизъюнктивный распределительный закон.
      (Av B)a(AvC)=Av(B л С)
      Z = (К v М) л (К v М) = К v (М л М).
      Выражение МлМ является логическим сложением переменной и ее инвертированного значения. По аксиоме 4 на рис. 4.6 это выражение дает результат 0:
      Согласно аксиоме 5 (рис. 4.8) выражение (переменная v 0) равно переменной
      Z = K.

      Теоремы де Моргана

      Английский математик де Морган (1806—1871) дополнил аксиомы алгебры логики теоремами, названными в его честь. Теоремы де Моргана имеют большое практическое значение при упрощении инвертируемых выражений для логических операций с элементами И-НЕ и ИЛИ-HE. Существуют две теоремы де Моргана.
      Первая теорема де Моргана:
      Z = АлВ = AvB.
      Эта теорема доказывается с помощью таблицы истинности (рис. 4.17). Вторая теорема де Моргана:
      Z = Av В = А л В.
      Согласно теоремам взаимно меняется тип логической операции (И и ИЛИ). Вторая теорема доказывается с помощью таблицы истинности (рис. 4.18).

      Покажем важность теорем де Моргана на примере. С их помощью можно значительно упростить выражение:
      P = RaSvRaS.
      Первая часть уравнения RaS согласно первой теореме преобразуется в Rv S. Вторая часть уравнения RaS согласно той же теореме преобразуется в Rv S. R согласно аксиоме 9 равно R.
      P = RaSvRaS;
      Р = Rv S v Rv S;
      Р = Rv S v Rv S.
      Последовательность переменных изменена. Проведем преобразования по аксиомам 8, 7 и 6:
      1 v А = 1
      Р= 1
      Теоремы де Моргана действуют также и для логических операций с большим количеством переменных:
      Z = 4a6aCaDa. = j4vBvCvDv.
      Z = AvBvCvDv. = AaBaCaDa.
      Задание ————————————————————-
      Составьте таблицу истинности и проверьте истинность теоремы де Моргана для трех переменных.

      Приоритеты логических операций

      Логическая операция И и ИЛИ с несколькими переменными может привести к неоднозначности. Уравнение
      Z = A v В а С
      может быть решено двумя способами. Можно сначала сложить переменные А и В, затем умножить результат на С. Соответствующая схема и таблица истинности изображены на рис. 4.19.
      С другой стороны, можно сначала перемножить переменные В и С, а результат сложить с А. Соответствующая схема и таблица истинности изображены на рис. 4.20. Zb этих двух вариантах является результатом абсолютно разных логических операций. Неоднозначность можно устранить с помощью скобок. В первом случае нужно писать Z = (A v В) а С. Во втором случае — Z = A v (В а С).

      От скобок можно отказаться, если ввести приоритеты логических операций.
      Логическая операция с более высоким приоритетом выполняется перед другими логическими операциями. Приоритет существует и в обычной алгебре. Умножение и деление имеют там более высокий приоритет перед сложением и вычитанием.
      В алгебре логики более высокий приоритет имеет операция логического умножения И.
      Операция логического умножения И выполняется перед логическим сложением ИЛИ.
      Z = A v В л С =Ф Aw <В а С).
      Теперь рассмотренное выше уравнение становится однозначным.
      Если в выражении алгебры логики присутствуют операции логического умножения и сложения, то переменные, связанные логическим умножением, должны читаться так, как будто взяты в скобки.

      elektro-dox.ru

      Алгебра логики распределительный закон

      Данная теорема утверждает, что инверсия любой функции в АЛ получается путем замены каждой переменной ее инверсией и одновременно взаимной заменой символов конъюнкции и дизъюнкции.

      Справедливость любого закона АЛ можно доказать разными методами. Законы (1-5) доказываются путем прямой подстановки вместо переменной значений 0 и 1. Ряд законов доказывается методом перебора всех возможных значений переменных, для которых проверяется справедливость закона. Для доказательства закона достаточно показать тождественность выражений, образующих левую и правую стороны доказываемого соотношения при всех наборах переменных, принимающих значения 0 или 1. Общий формальный метод доказательства законов АЛ состоит в том, что справедливость каждого закона доказывается на основе аксиом и ранее доказанных законов. Доказательство заключается в приведении обеих частей выражения к одному виду с помощью последовательных преобразований. Для доказательства законов инверсии следует воспользоваться методом математической индукции.

      Рассмотрим следующие примеры:

      Пример 1.1. Доказать справедливость закона нулевого множества.

      Рассмотрим запись закона в виде 0 v x = x. Проверим справедливость этого равенства для всех возможных значений x. При x = 0 получаем равенство 0 v 0 = 0, справедливое по аксиоме 3. При x = 1 имеем 0 v 1 = 1 также в соответствии с аксиомой 3. Таким образом, равенство 0 v x = x выполняется при всех возможных значениях переменной x, следовательно является теоремой.

      Рассмотрим запись закона в виде 0 & x = 0. При x = 0 имеем 0 & 0 = 0, в соответствии с аксиомой 4. При x = 1 имеем 0 & 1 = 0 также по аксиоме 4, следовательно закон выполняется.

      Рассмотрим запись закона в виде:

      Воспользуемся методом индукции. Первым этапом данного метода является доказательство истинности теоремы при n = 1. Это положение уже было доказано нами выше. Теперь предположим, что теорема справедлива при некотором n и докажем, что она справедлива и при n+1.

      Действительно, при некотором n будем иметь равенство:

      Для n+1 выражение примет вид:

      Но на основании предположения индукции можно записать 0 & xn+1 = 0, то есть мы вернулись к рассмотренному выше случаю одной переменной. Таким образом, справедливость закона нулевого множества доказана для произвольного числа переменных.

      Пример 1.2. Доказать справедливость закона поглощения. Будем считать, что справедливость законов (1-8) уже доказана. В процессе преобразований над знаком равенства будем ставить номер формулы использованного закона или аксиомы.

      Доказательства остальных законов АЛ читатель может вполне выполнить самостоятельно, пользуясь аналогичными методами.

      www.smit-vstu.narod.ru

      Основные законы алгебры логики

      Для преобразования функций, упрощения формул, полученных при формализации условий логических задач, в алгебре логики производятся эквивалентные преобразования, опирающиеся на основные логические законы. Некоторые из этих законов формулируются и записываются так же, как аналогичные законы в арифметике и алгебре, другие выглядят непривычно.

      Законы алгебры логики называют иногда теоремами.

      В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.

      В справедливости всех законов можно убедиться, построив таблицы истинности для левой и правой частей записанного закона. После упрощения выражения с применением законов алгебры логики таблицы истинности совпадают.

      Справедливость части законов можно доказать, применяя инструментарий таблиц истинности.

      • Составим таблицу истинности для выражения

      В первые два столбца таблицы запишем четыре возможных пары значений $x$ и $y$, в последующих столбцах — значения промежуточных выражений, а в последнем столбце — значение исходного выражения. В результате получим таблицу:

      Упростим исходное выражение, используя основные законы алгебры логики:

      (закон Де Моргана, распределительный закон для И, закон идемпотенции, операция переменной с её инверсией).

      Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.2 принимает значение $1$, то есть является тождественно истинной.

      Составим таблицу истинности для выражения:

    , которое содержит две переменные $x$ и $y$. В первые два столбца таблицы запишем четыре возможных пары значений $x$ и $y$, в последующих столбцах — значения промежуточных выражений, а в последнем столбце — значение исходного выражения. В результате получим таблицу:

    Ничего непонятно?

    Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

    Из таблицы видно, что Исходное выражение принимает такие же значения, что и Упрощенное выражение на соответствующих значениях переменных $x$ и $y$.

    Упростим выражение на рис.5, применяя основные законы алгебры логики.

    (закон Де Моргана, закон поглощения, распределительный закон для И).

      Составим таблицу истинности для выражения

    Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.8 принимает значение $0$, то есть является тождественно ложной.

    Упростим выражение, применяя законы алгебры логики:

    (закон Де Могргана, распределительный).

    Составим таблицу истинности для выражения на рис.11:

    Из таблицы видно, что выражение на рис.11 в некоторых случаях принимает значение $1$, а в некоторых — $0$, то есть является выполнимым.

    Лень читать?

    Задай вопрос специалистам и получи
    ответ уже через 15 минут!

    (правило де Моргана, выносим за скобки общий множитель, правило операций переменной с её инверсией).

    (повторяется второй сомножитель, что возможно используя закон идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания).

    Упростить выражение используя законы алгебры логики:

    (вводим вспомогательный логический сомножитель

    spravochnick.ru

    Смотрите еще:

    • Правило буравчика магнитной индукции Как работает правило буравчика в электротехнике В природе широко распространены электромагнитные поля и волны, несущие в себе взаимосвязанные электрическую и магнитную энергии. В пространстве они расположены […]
    • Развод брака в россии Развод с иностранным гражданином в России Вы хотите решить вопрос по бракоразводному процессу с иностранным гражданином, не вдаваясь в нюансы? «Развод с иностранцем без его присутствия» - это специальная […]
    • Править фолс Пляж Гленкейрн Гленкейрн (Glencairn) - небольшой пляж в пригородах Кейптауна, ЮАР. Лучше всего здесь просто гулять, - в том числе по многочисленным тропам по окрестным холмам. Купаться же не слишком удобно […]
  • Закладка Постоянная ссылка.

    Комментарии запрещены.