По каким правилам складывают числа с числом 0

Урок математики по теме «Деление 0 на число». 3-й класс

Учебник: «Математика» М.И.Моро

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Задачи урока:

  • раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
  • развивать самостоятельность, внимание, мышление;
  • формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.
  • Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

    Структура урока включала в себя:

  • Орг. момент, целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
  • Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел. В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой: нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
  • Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу, в котором сформулировали новое правило.
  • Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу, дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
  • Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
  • Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
  • Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.
  • В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    По каким правилам проходит конкурс «Евровидение»? (13.05.2013)

    О зарождении «Евровидения»

    Конкурс песен «Евровидение» впервые был проведён в Швейцарии в 1956 году в качестве альтернативы итальянскому фестивалю в Сан-Ремо (этот фестиваль ведёт свою историю с 1951 года, с небольшими перерывами проводится ежегодно вплоть до настоящего времени). Так вот, организаторы нового конкурса решили, что участвовать в нём могут только представители стран, входящих в Европейский вещательный союз (ЕВС), поэтому не совсем верно называть «Евровидение» конкурсом исключительно европейских стран, ведь в нём участвуют также представители Израиля, Кипра, Египта и др. стран, которые географически относятся к другим частям света.

    Общие правила проведения конкурса

    За всю свою историю правила «Евровидения» менялись лишь несколько раз, последний раз изменения коснулись принципа голосования за понравившуюся песню. Ключевые аспекты действующей редакции правил следующие:

    1. От каждой страны выбирается только 1 участник с одной конкурсной песней.
    2. Песня исполняется певцом вживую 1 раз, её длина не должна превышать 3-х минут, а публике она должна быть представлена не ранее 1 сентября предыдущего года.
    3. Минимальный возраст участника «Евровидения» – 16 лет, а для младшей возрастной категории устраивается детское «Евровидение». При этом представлять страну на конкурсе может любой исполнитель, даже если он не является гражданином этой страны.
    4. Номер, под которым выступает участник, определяется путём жеребьёвки.
    5. Одновременно на сцене имеют право находиться не более шести человек, животные на сцену не допускаются.
    6. Начиная с первой секунды выступления первого конкурсанта и в течение 15 минут после того, как все участники исполнили свои песни, зрители могут проголосовать за понравившуюся композицию.
    7. С 2009 года было введено новое правило, предполагающее не только народное голосование, но и голосование профессиональных членов жюри во избежание т. н. «соседского» принципа, когда жители соседних стран голосовали друг за друга. В каждой стране выбирается по 5 представителей из разных профессий (радио-диджей, артист, композитор, автор текстов, музыкальной продюсер), каждый из которых определяют баллы, которые он поставит той или иной песне. По результатам голосования составляется рейтинг песен.
    8. Затем определяются баллы по голосованию телезрителей и составляется рейтинг – как у жюри. Далее выставленные зрителями и жюри баллы складываются и ранжируются: 12 баллов даётся песне, набравшей больший суммированный балл, 10 – второй по количеству баллов песне и так далее до 1 балла.
    9. Страна-победитель по количеству набранных баллов имеет право в следующем году провести конкурс у себя, а сам исполнитель заключает контракт с ЕВС, по которому он обязуется посещать все мероприятия и гастроли, устраиваемые ЕВС.

    В финал конкурса допускаются представители тех стран, которые в полуфинале заняли с первого по десятое места. Всего в финале конкурса представляется 26 стран – 20 лидеров полуфиналов, пятеро членов «большой пятёрки» и представитель страны, принимающей конкурс.

    Правила зрительского голосования

    Не всегда понятно, как именно распределяются баллы между участниками. На самом деле всё не так сложно.

    Голосование проходит в каждой стране, которая послала своего участника на конкурс. По итогам голосования подсчитывается количество голосов, отданных за ту или иную песню. Та песня, которая получила больше всех голосов, получает 12 баллов – и это максимальная оценка. Вторая по количеству набранных голосов песня получает 10 баллов, третья – 8 очков. Далее песни по убыванию получают 7, 6, 5 – и так вплоть до одного балла каждая.

    Из-за большого количества стран-участников называются только высшие баллы (12, 10 и 8 баллов), а распределение остальных баллов зрители видят на интерактивном табло.

    Если случается так, что несколько участников получают одинаковое количество баллов в финале или полуфинале конкурса, то победителя определяют по результатам только народного голосования: та песня, которая получила больше баллов от телезрителей, становится победителем.

    Если и в этом случае победитель не будет выявлен, тогда смотрят на оценки жюри – та песня, которая была выше оценена членами жюри из всех стран, становится победителем.

    www.aif.ru

    Сложение с числом 0. 1-й класс

    Класс: 1.

    Программа: «Начальная школа XXI века».

    Цель урока: Формировать умения находить результат сложения, если одно из слагаемых равно нулю. Научить учащихся способу практического выполнения сложения с числом 0 с опорой на модель (шкала линейки).

    Формируемые УУД:

    Личностные УУД: самоопределение, смыслообразование, внутренняя позиция школьника, учебно-познавательная мотивация.

    Регулятивные УУД: целеполагание, способность запоминать и удерживать правило, инструкцию во времени, прогнозирование промежуточного и конечного результата, осуществление выбора способов и средств достижения цели, выполнение учебных действий по образцу под руководством учителя, контроль и оценка учебных достижений, осуществление волевой саморегуляции, анализ эмоционального состояния, полученного от успешной (неуспешной деятельности).

    Познавательные УУД: анализ, сравнение, обобщение, использование знаково-символических средств, постановка и формулирование проблемы, постановка познавательной цели, модели рование, создание алгоритмов деятельности.

    Коммуникативные УУД: учёт разных мнений, формулирование и аргументация своего мнения и позиции в коммуникации.

    – Начнём мы наш урок с работы с таблицей.

    – Назовите составные части таблицы.

    – Как располагаются строки, столбцы.

    – В таблице зашифровано слово. Вы должны брать из неё ту карточку с буквой, адрес которой я назову. Если вы правильно выполните задание, то сможете определить тему нашего урока. (Карточки в таблице перевёрнуты.)

    – Первая строка, первый столбец,

    – Вторая строка, второй столбец,

    – Третья строка, второй столбец,

    – Первая строка, третий столбец,

    – Вторая строка, первый столбец,

    – Третья строка, первый столбец,

    – Вторая строка, третий столбец,

    – Первая строка, второй столбец.

    (Правая нижняя карточка остаётся перевёрнутой.)

    – Какое слово расшифровали?

    – Определите тему нашего урока.

    – Что вы знаете о сложении

    – А всё ли вы узнали о сложении?

    – Что бы вы ещё хотели узнать?

    – Строки расположены горизонтально (слева направо), столбцы вертикально (сверху вниз).

    Учащиеся по очереди выходят к доске, снимают нужную букву, переворачивают и прикрепляют к доске.

    – Тема нашего урока – сложение.

    – При сложении числа увеличиваются.

    – При перестановке чисел при сложении результат не меняется.

    – Числа можно складывать в любом порядке.

    – Удобно к большему числу прибавить меньшее.

    Высказывания учеников о том, чтобы они хотели узнать (например, как складывать большие числа).

    – Наши помощники Волк и Заяц

    выполняли сложение. (Примеры на доске.) Пронаблюдайте и сравните получившиеся у них математические записи.

    По каким правилам складывают числа с числом 0

    Всем привет! Был разговор на работе в курилке:»а чему равен 0 в степени 0″. Были довольно жаркие дебаты. Соответственно, хочу поделиться нашим научно-популярным разговором (Все идеи проиллюстрированы математикой с её формальной точки зрения, за исключением 4 пункта, который является моими доводами в споре с коллегами).

    1. Умножение на 0.

    3. Нулевая степень.

    4. 0 в степени 0 или мои доводы.

    5. Список литературы.

    Чтобы двигаться дальше, давайте сначала выясним, а почему при умножении на 0 всегда получается 0. Давайте возьмём любое число «а» и умножим его на ноль.

    Как мы видим, во всём виноват дистрибутивный закон умножения.

    С делением на 0 интереснее будет. Все помнят в школе простое правило: на 0 делить нельзя! А ни у кого не возникал вопрос:»А почему нельзя-то? Ведь умножать можно?». Давайте рассмотрим подробнее.

    Поступим от противного. Пусть можно делить на 0 и получится какой-то корректный результат. Возьмём ненулевое «а» и поделим его на 0 и в результате получим какое-то число с.

    Нет, мы не будем вычислять чему же равно «с». Мы сделаем иначе. Мы же по предположению получили корректный результат. Тогда число «а» будет равняться:

    А мы говорили, что «а» не равно 0. Противоречие, а иначе не выполняется п 1.0. Значит, ненулевое число не может быть поделено на 0. А что если.

    А давайте 0 поделим на 0. А тогда что получится? Проведя те же самые рассуждения, что и в предыдущем пункте, мы получаем,что число «с» может быть любым, ведь п 1.0 соблюдён! Правда, смысла от этого никакого нет — т.к. «с» любое число. Поэтому, все мы знаем, что делить на 0 нельзя: или будет неверный результат (2.1) или просто бессмысленный.

    Действительно, все в школе выучили, что любое число в 0 степени даёт единицу. А почему? Давайте выясним! Возьмём любое ненулевое число а и возведём его в 0 степень

    Как мы видим, всё логично. Переходим к главному предмету спора.

    4. 0 в степени 0 и мои доводы.

    А давайте теперь выслушаем мои доводы про 0 в степени 0.

    То есть у меня получилось, что с точки зрения алгебры 0 в степени 0 любое число. Насчёт этого пункта я не уверен, но интересно было бы узнать: прав ли я или где в рассуждениях закралась ошибка.

    Вообще, как я понял, в этом вопросе подходов много. Их можно посмотреть вот тут. Про умножение на 0 и деление на 0, можно посмотреть, например, у Кострикина в его курсе алгебы.

    p.s. А что думаете вы по этому вопросу?

    Наука | Science

    • Лучшие сверху
    • Первые сверху
    • Актуальные сверху

    203 комментария

    Если говорить о математике, то надо говорить как можно точнее, потому что сейчас мы ходим по офигенно тонкому льду.

    1. Про умножение. Раз мы притянули сюда дистрибутивный закон, это значит, что мы оперируем не чем-то, а кольцом.

    Таки да, поглощающее свойство по умножению нейтрального элемента по сложению (т.е. 0) вытекает из обратимости сложения и дистрибутивного закона.

    Если мы имеем дело с полукольцом (для которого сложение не обратимо), то поглощающее свойство 0 по умножению вводится аксиоматически, а не доказывается.

    2. Про деление. Есть такое понятие — «делители нуля» — пара элементов кольца a и b такие, что ab = 0. Самый хорошо известный пример — это кольца вычетов (т.е. арифметика по модулю). Для обычной арифметики в кольце целых или поле вещественных или комплексных чисел, — ясное дело, делителей нуля (кроме самого нуля) нет. Впрочем, для целых чисел и деление не полностью определено 😉

    В данном же случае вы использовали для доказательства обратимость умножения, то есть, от кольца перешли к полю. Хотя для областей целостности отсутствие делителей нуля вводится аксиоматически.

    3. Про нулевую степень.

    Как только мы договорились, что на 0 делить нельзя, то автоматически перешли к тому, что на доказательство a**0 = a**(b-b) = (a**b)/(a**b) наложили ограничение: эта ветвь рассуждений верна исключительно для тех a**b, которые не равны 0.

    Хотим перейти далее к 0**0 — извольте придумать другое доказательство, потому что для положительных показателей 0**b=0.

    4. Выходом может быть, например, предельный переход, который показывает, как ведёт себя двумерная функция f(a,b)=a**b в окрестности нуля по обоим аргументам.

    Но тут мы внезапно выскакиваем из алгебры в матанализ. Переходим от свойств операций к свойствам чисел, если так грубо по-философски сказать.

    Да, мы могли бы сделать хитрость, заменить поле вещественных чисел на проективное пространство, введя числа «плюс-минус-бесконечность». И, до кучи, введя число «неопределённость».

    И тогда 0**0 = 0/0 = oo/oo = oo-oo = NaN.

    Но это будет нечестно, потому что, как мы знаем из матана, некоторые нули и бесконечности (в смысле, пределы соответствующих последовательностей) более сильные, чем другие, и иногда получается NaN, а иногда 0 или oo.

    Браво! Апплодирую стоя.

    Ну тогда и корень из -1 нечестно, вышли из поля вещественных чисел в многомерное пространство чисел, где меньше ограничений, и чем больше размерность пространства, тем меньше ограничений.

    Достаточно выйти в поле алгебраических комплексных чисел 😉

    Мы останемся в рамках алгебры, только оперирующей полиномами и их корнями. И даже обойдёмся без матана. Но с 0**0 проблемы всё ещё останутся.

    Кстати, с кватернионами уже всё будет хуже, потому что мы там потеряем коммутативность умножения. То есть, алгебраическая структура немножко деградирует по сравнению с «обычной арифметикой».

    В 4 пункте ты допускаешь крупную логическую ошибку. А именно, неверно используешь доказательство от противного. То же, кстати, ты делаешь и в пункте 2.2

    Как ты делаешь в пункте 2.1? Ты говоришь «Допустим утверждение A. Тогда корректными преобразованиями из него необходимо выводится B. Но B неверно. Следовательно, неверно и А. Чтд.» Вопросов нет, всё правильно сделал, со времён Аристотеля известен этот приём. Но дальше ты идёшь на ошибку: «Допустим утверждение A. Тогда корректными преобразованиями из него необходимо выводится B. B верно для любого числа. Следовательно, верно и А. Чтд.»

    Но так метод от противного не работает! Тем, что из нашего утверждения не выводится противоречие, нельзя доказать верность утверждения. Операция импликации не симметрична. Смотри: Допустим 1+1=c. Умножим обе части равенства на 0. Тогда получим 0+0=0. Это верно для любого числа. Следовательно, 1+1 равно любому числу. Это в точности твоя схема рассуждений, но она, как мы видим, катастрофически ошибочна.

    Законы логики гласят, что верными логическими рассуждениями из истины можно получить только истину, а из лжи можно получить что угодно. В том числе и истину.

    Почему 0/0 и 0^0 не равно любому числу?
    Мы могли бы объявить любой результат этих функций, в принципе. Дело договорённости. Дело того, что мы хотим именовать делением и возведением в степень. Но чтобы результат имел для математиков смысл, было бы хорошо, чтобы для него выполнялись все привычные для других чисел соотношения. И тут мы натыкаемся на неразрешимую проблему:

    Далее x — любое ненулевое число.
    0/x=0.
    x/x=1.
    Этим двум соотношениям невозможно удовлетворить одновременно, какое бы c в 0/0=c мы ни брали. Аналогично:
    x^0 = 1.
    0^x = 0.
    Поэтому 0/0 и 0^0 — неопределённость. Да, мы могли бы доопределить операцию деления или возведения в степень так, чтобы часть наших соотношений выполнилась. И более того, в отдельных задачах это иногда делается. Но невозможно доопределить её так, чтобы выполнились все интересные соотношения нам одновременно. Для 0 деление или возведение в степень неминуемо теряет часть своих свойств. Поэтому, чтобы не впадать в искушение записать неверные построения, мы просто запрещаем эту операцию, подчёркивая, что случаи такого сорта нуждаются в рассмотрении отдельно, где бы они ни встретились.

    m.pikabu.ru

    Действия с десятичными дробями

    Десятичные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, десятичные дроби можно сравнивать между собой.

    В этом уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

    Сложение десятичных дробей

    Как мы знаем, десятичная дробь имеет целую и дробную часть. При сложении десятичных дробей, целые и дробные части складываются по-отдельности.

    Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик.

    Запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой».

    Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:

    Начинаем складывать дробные части: 2 + 3 = 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:

    Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:

    Получили ответ 8,5. Значит выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5

    На самом деле не всё так просто, как покажется на первый взгляд. Здесь тоже есть свои подводные камни, о которых мы сейчас поговорим.

    Разряды в десятичных дробях

    У десятичных дробей, как и у обычных чисел есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных. При этом разрядность начинается после запятой.

    Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.

    Разряды в десятичных дробях хранят в себе некоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.

    Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345

    Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятых

    Позиция, где находится четвёрка, называется разрядом сотых

    Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом тысячных

    Посмотрим на данный рисунок. Видим, что в разряде десятых располагается тройка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых .

    Смотрим дальше. В разряде сотых располагается четвёрка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится четыре сотых .

    Смотрим дальше. В разряде тысячных находится пятёрка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится пять тысячных .

    Если мы сложим дроби , и то получим изначальную десятичную дробь 0,345

    Видно, что сначала мы получили ответ , но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345.

    При сложении десятичных дробей соблюдаются те же принципы и правила, что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

    Поэтому при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой». Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок, в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

    Пример 1. Найти значение выражения 1,5 + 3,4

    Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»

    В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9

    Пример 2. Найти значение выражения: 3,51 + 1,22

    В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1+2=3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:

    Теперь складываем десятые части 5+2=7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 3+1=4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:

    Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73

    Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти переполнение разряда. В этом случае в ответе записывается одна цифра, а остальные переносят на следующий разряд.

    Пример 3. Найти значение выражения 2,65 + 3,27

    Записываем в столбик данное выражение:

    Складываем сотые части 5+7=12. Число 12 не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому в сотой части записываем цифру 2, а единицу переносим на следующий разряд:

    Теперь складываем десятые части 6+2=8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получим 9. Записываем цифру 9 в десятой части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 2+3=5. Записываем цифру 5 в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92

    Пример 4. Найти значение выражения 9,5 + 2,8

    Записываем в столбик данное выражение

    Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Число 13 не поместится в дробной часть нашего ответа, поэтому сначала записываем цифру 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:

    Теперь складываем целые части 9+2=11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 12. Записываем число 12 в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3

    При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.

    Пример 5. Найти значение выражения: 12,725 + 1,7

    Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обеих дробях одинаковым. В десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а в дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля. Тогда получим дробь 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:

    Складываем тысячные части 5+0=5. Записываем цифру 5 в тысячной части нашего ответа:

    Складываем сотые части 2+0=2. Записываем цифру 2 в сотой части нашего ответа:

    Складываем десятые части 7+7=14. Число 14 не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем цифру 4, а единицу переносим на следующий разряд:

    Теперь складываем целые части 12+1=13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 14. Записываем число 14 в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной:

    Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+ 1,700 равно 14,425

    12,725+ 1,700 = 14,425

    Вычитание десятичных дробей

    При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила, что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».

    Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

    Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:

    Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:

    Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3

    Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1

    В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.

    Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:

    Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253

    Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.

    Пример 3. Найти значение выражения 3,46 − 2,39

    Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:

    Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:

    Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07

    Умножение десятичных дробей

    Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.

    Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

    Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5

    Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:

    Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.

    Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75

    Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7

    Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:

    Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.

    Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695

    12,85 × 2,7 = 34,695

    Умножение десятичной дроби на обычное число

    Иногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.

    Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби. Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

    Например, умножим 2,54 на 2

    Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:

    Получили число 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.

    Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08

    Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000

    Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.

    Например, умножим 2,88 на 10

    Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:

    Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.

    Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8

    Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.

    Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.

    Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288

    Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.

    2,88 × 1000 = 2880

    Умножение десятичных дробей на 0,1 0,01 и 0,001

    Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби, как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

    Например, умножим 3,25 на 0,1

    Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:

    Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра. Итого три цифры.

    Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае нужно дописать один ноль и поставить запятую:

    Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325

    Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.

    Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае дописываем один ноль и ставим запятую. В результате получаем 0,325

    Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325

    3,25 × 0,01 = 0,0325

    Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325

    3,25 × 0,001 = 0,00325

    Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1, 0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.

    При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько же цифр сколько нулей во множителе.

    А при умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая переносится влево на столько же цифр сколько нулей во множителе.

    Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом, в котором умножение выполняется как с обычными числами. В ответе нужно будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

    Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

    В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.

    Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче, как разделить одно яблоко на двоих:

    Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.

    Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.

    При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.

    Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:

    Единица на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице», то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:

    Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:

    Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:

    Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

    Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10

    Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5

    Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:

    Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см

    Пример 2. Найти значение выражения 4 : 5

    Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:

    Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:

    Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.

    Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:

    Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4 : 5 равно 0,8

    Пример 3. Найти значение выражения 5 : 125

    Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Значит, записываем 0 в частном и ставим запятую:

    Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0

    Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:

    Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0

    Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50

    Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:

    Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:

    Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500

    Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5 : 125 равно 0,04

    Деление чисел без остатка

    В уроке деление мы научились делить числа с остатком. Например, чтобы разделить 9 на 5, мы поступали следующим образом:

    и далее говорили, что девять разделить на пять будет один и четыре в остатке.

    Теперь мы получили необходимые знания, чтобы разделить 9 на 5 без остатка. Наша задача раздробить остаток 4 на 5 частей. Другими словами, разделить меньшее число на большее.

    Итак, поставим в частном после единицы запятую, тем самым указывая, что деление целых частей закончилось и мы приступаем к дробной части:

    Допишем ноль к остатку 4:

    Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном:

    Что делать дальше мы уже знаем. Вытаскиваем остаток (если есть). Умножаем восьмёрку на делитель 5, и записываем полученный результат под 40:

    40−40=0. Получили 0 в остатке. Значит деление на этом полностью завершено. При делении 9 на 5 получается десятичная дробь 1,8:

    Пример 2. Разделить 84 на 5 без остатка

    Сначала разделим 84 на 5 как обычно с остатком:

    Получили в частном 16 и еще 4 в остатке. Теперь разделим этот остаток на 5. Поставим в частном запятую, а к остатку 4 допишем 0

    Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмерку в частном после запятой:

    и завершаем пример, проверив есть ли еще остаток:

    Деление десятичной дроби на обычное число

    Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:

  • разделить целую часть десятичной дроби на это число;
  • после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.
  • Например, разделим 4,8 на 2

    Запишем этот пример уголком:

    Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:

    Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:

    4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2

    8 : 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:

    Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8 : 2 равно 2,4

    Пример 2. Найти значение выражения 8,43 : 3

    Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:

    Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:

    Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 4

    Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:

    24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:

    Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43 : 3 равно 2,81

    Деление десятичной дроби на десятичную дробь

    Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.

    Например, разделим 5,95 на 1,7

    Запишем уголком данное выражение

    Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:

    После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет особого труда:

    Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?

    Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Рассмотрим выражение 9 : 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.

    Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:

    (9 × 2 ) : (3 × 2 ) = 18 : 6 = 3

    Как видно из примера, частное не поменялось.

    Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.

    На самом деле внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:

    Поэтому от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.

    Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

    Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и деление десятичной дроби на обычное число. Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:

    Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.

    Решим предыдущий пример этим способом. 2,1 : 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае перед цифрой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21

    Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:

    Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:

    2,1 : 1000 = 0,0021

    Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01 и 0,001

    Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и деление десятичной дроби на десятичную дробь. В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.

    Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.

    После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:

    Значит значение выражения 6,3 : 0,1 равно 63

    Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.

    Решим предыдущий пример этим способом. 6,3 : 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63

    Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае в конце нужно дописать ещё один ноль. В результате получим 630

    Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    spacemath.xyz

    Смотрите еще:

    • Заявление на возврат пени из налоговой Возврат налогов в 2017-2018 годах (заявление и порядок) Возврат налога в 2017–2018 годах подчиняется тем же общим правилам, что действовали ранее. В данной рубрике собраны материалы, призванные помочь вам в […]
    • Ндфл с подъемного пособия военнослужащим НачФин.info " rel="nofollow"> Печать E-mail Подробности Категория: Консультация военного юриста Опубликовано: 30 января 2017 Автор: SobKor Просмотров: 9523 Вопрос: Облагается ли налогом единовременное […]
    • Налог поле 106 Основные поля платежного поручения в 2017 году (образец) Отправить на почту Поля платежного поручения в 2017 году те же, что и были ранее. В статье мы расскажем о структуре платежки и приведем образец ее […]
Закладка Постоянная ссылка.

Комментарии запрещены.