Разность квадрата правило

Каждая из формул сокращенного умножения является тождеством. Это значит, что ее можно применять в обоих направлениях: и от левой части переходить к правой, и от правой — к левой. Разность квадратов — правая часть формулы произведения суммы и разности двух выражений.

Соответственно, разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности. Формула разности квадратов

На практике, как правило, выражения не представлены в виде квадратов, то есть, прежде чем воспользоваться формулой, их надо преобразовать.

Представим каждое выражение в виде квадрата, используя свойства степеней:

теперь можем разложить разность квадратов на множители:

С помощью схемы разложение разности квадратов на множители можно изобразить так:

Схему можно использовать для наглядности на начальном этапе работы с формулой.

Например, нужно разложить как разность квадратов двучлен 16a²-49b². Представим каждое из выражений в виде квадрата и воспользуемся схемой:

Еще примеры разложения многочлена на множители по формуле разности квадратов:

Чтобы представить в виде квадрата смешанное число, надо перевести его в неправильную дробь. Разложив разность квадратов на множители, неправильную дробь переводим в смешанное число, выделив целую часть

В алгебре разность квадратов — одна из самых востребованных формул сокращенного умножения.

www.algebraclass.ru

Разность квадрата правило

Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов

  • Квадрат суммыдвух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
  • Квадрат разностидвух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
  • Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
  • Куб суммыдвух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
  • Куб разностидвух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
  • Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. ( a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3
  • Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.(a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 — b 3
  • Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

    Пример. Докажите формулу a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ).

    Решение. Имеем ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3 . Приводя подобные слагаемые, мы видим, что ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3 , что и доказывает нужную формулу.

    Пример. Упростите выражение (2 x 3 – 5 z )(2 x 3 + 5 z ).

    Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x 3 – 5 z )(2 x 3 + 5 z ) = (2 x 3 ) 2 – (5 z ) 2 = 4 x 6 – 25 z 2 .

    Ответ. 4 x 6 – 25 z 2 .

    uztest.ru

    Квадрат суммы и разности

    Квадрат суммы

    Выражение (a + b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

    т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

    Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

    Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

    Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

    Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy.

    Решение: чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

    Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

    Квадрат разности

    Выражение (ab) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (ab) 2 представляет собой произведение двух многочленов (ab)(ab). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

    т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

    Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

    Многочлен a 2 — 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

    Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

    Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

    Решение: используя формулу квадрата разности находим:

    Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

    Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 — b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

    т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

    Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

    Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

    Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

    (5a 2 + 3)(5a 2 — 3) = (5a 2 ) 2 — 3 2 = 25a 4 — 9

    В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

    На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо и справа налево, в зависимости от ситуации.

    naobumium.info

    Формулы сокращенного умножения. Начальный уровень.

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Итак, формулы сокращенного умножения. Все мы слышали о них и видели эти формулы:

    Но, как правило, мало кто понимает зачем запоминать эти формулы? Как они могут пригодиться при расчетах? И еще один важный вопрос КАК их можно вообще ЗАПОМНИТЬ?! Поговорим обо всем по порядку, но сначала затронем вопрос о применении их на практике.

    Квадрат суммы и квадрат разности

    Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно.

    Возьмем самую простую первую формулу квадрат суммы — и попробуем последовательно возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить само на себя:

    Посмотри, что еще можно сделать с тем выражением, которое у нас получилось? Правильно, привести подобные слагаемые:

    Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения. Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

    Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности? Куб суммы означает, что необходимо само умножить на себя три раза:

    И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

    Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

    Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

    Квадрат разности означает умножить само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.

    Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:

    Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:

    Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?

    Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между и , то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем. При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел и ! Это грубейшая и самая распространенная ошибка!

    Формулы сокращенного умножения. Примеры.

    Сейчас ты скажешь: «Понятно, что с помощью формул я могу быстрее преобразовывать примеры и вероятнее всего, приду в них к правильному ответу, но как они мне могут пригодится просто так? В жизни?»

    Это очень просто! Сколько будет ? Не нужно кидаться перемножать на в столбик, и уж тем более не стоит набирать цифры на калькуляторе. Просто представь , как сумму и и возведи ее в квадрат. Получилось? Сравни ход своих мыслей:

    С помощью формул квадрат суммы и квадрат разности мы можем легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор и не считая в столбик. Необходимо просто представить число в виде суммы (или разности) чисел, квадрат которых мы хорошо знаем.

    Формулы сокращенного умножения. Тренировка.

    Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

    Ответы:

    Тебе может показаться, что посчитать это сложно, но ты можешь преобразовать это в выражение:

    Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет ? Вспомнил? . Отлично! Так как мы возводим в квадрат , то мы должны умножить на . Получается, что .

    Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:

    Посчитай самостоятельно следующие выражения:

    У тебя получилось следующее?

    Формулы сокращенного умножения. Итог.

    Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

    Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида в вид . Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

    Допустим, у нас есть следующее выражение:

    Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа квадрат другого числа и удвоенное произведение этих чисел.

    В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа – это . Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку , — это квадратный корень из , то есть

    Так как во втором слагаемом есть , значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

    , где – второе число, входящее в нашу скобку.

    . Второе число, входящее в скобку, равно .

    Проверим. должно быть равно . Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: и . Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

    Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

    Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между и ).

    Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

    Потренируйся – преобразуй следующие выражения:

  • — докажи, что это равносильно.
  • Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

    1. – нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо было .

    Разность квадратов

    Еще одна формула сокращенного умножения – разность квадратов.

    Разность квадратов это не квадрат разности!

    Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

    Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим , как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:

    Что мы делаем дальше? Правильно! Приводим подобные слагаемые и получаем:

    Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:

    Необходимо вычислить: . Конечно, мы можем возвести в квадрат , затем возвести в квадрат и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:

    Попробуй самостоятельно посчитать следующие выражения:

    Получилось? Сверим результаты:

    Так же как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:

    Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.

    Поскольку , при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим

    Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:

    Записал? Сравним полученные выражения:

    Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.

    Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)

    Допустим, нам дан пример

    Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель — это полный квадрат:

    Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем , то становится ясно, что числитель – квадрат суммы.

    Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

    Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!

    Куб суммы и куб разности

    Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

    Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

    Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

    Какую ты видишь закономерность?

    1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб – есть куб одного числа и куб другого числа.

    2. При возведении в квадрат, у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в кубутроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).

    3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения – если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание – отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » — « » — « » — « ».

    Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

    Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

    Разность и сумма кубов

    Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

    Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

    1 скобка – разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

    2 скобка – неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

    Для закрепления темы решим несколько примеров:

    Сравни полученные выражения:

    Тренировка

    Подведем окончательные итоги

    Существует 7 формул сокращенного умножения:

    Не забудь, что в разделе для среднего уровня учеников мы разобрали тему «Формулы сокращенного умножения» еще глубже.

    Комментарии

    У вас там 3*2 получилось вдруг 12 (1 пример в последних 3х)

    Да, действительно, ошибка. Спасибо, Вадим. Видимо посчитали как для квадрата разности. Должно быть 6ab..

    В примере на разность квадратов там где получается (4b-1) в квадрате, появилась буква (а) , это запутывает. и еще в одном примере вообще не дописаны буквы. ​

    Спасибо, Андрей, исправил.

    в примере где вычисляется 120 в квадрате, 20 в квадрате у вас получилось 40

    Спасибо, Ольга, опечатку исправили.

    В начале, третий пример такой: (12+5a)^2, а в ответе уже записано: (12-5a)^2. Почему у вас практически в каждой теме так много ошибок? Это очень раздражает. Текст хотя бы раз перечитывается перед публикацией или «и так сойдёт»?

    Все очень просто, Павел. Если Вы заметили, учебник выложен в бесплатный доступ. Составление и содержание такого учебника очень дорогое удовольствие. Нужно платить математикам, программистам и очень многим другим людям. Сайт финансирую я, из своих личных средств. На все просто не хватает денег. Поэтому я благодарен тем, кто находит ошибки. Вам, например. Тем не менее, многие люди находят этот сайт очень полезным для них, не смотря на ошибки. Многим он помог. Поэтому будем продолжать.

    Преобразование элементарных выражений. В задании 2 в знаменателе минус должен быть

    8a^3 −b^3 =(2a)^3 −b^3 =(2a−b)(4a^2 +2ab+b^2) в последней скобке 2 а не 4 во втором слогаемом

    Здравствуйте, помогите мне пожалуйста с примерами из жизни с применениями этих формул

    Вы делаете ремонт, и вам надо купить паркет для комнаты 22 кв.м. Вы пришли в магазин, достали телефон, чтобы подсчитать площадь, какую вам необходимо, но вот беда, телефон сел, а сотрудники магазина где-то шляются 🙂 сколько Вам надо купить паркета?

    Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

    Политика конфиденциальности

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
  • Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
    • Защита персональной информации

      Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

      Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

      Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

      Спасибо за сообщение!

      Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

      Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

      youclever.org

      Формулы сокращенного умножения

      Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

      (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

      (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

      a 2 — b 2 = (a+b)(a — b)

      (a + b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab — 2ac — 2bc

      (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

      (a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

      a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 )

      a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2 )

      (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

      (a — b) 4 = a 4 — 4a 3 b + 6a 2 b 2 — 4ab 3 + b 4

      Формулы сокращенного умножения

      Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:

      Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

      Квадрат разности двух числе равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

      Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа:

      Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:

      Выражение принято называть неполным квадратом разности. Перемножив сумму двух чисел на их неполный квадрат разности мы получим формулу суммы кубов.

      Сумма кубов двух числе равна произведению суммы этих чисел на их неполный квадрат разности:

      Выражение принято называть неполным квадратом суммы. Умножив разность двух чисел на их неполный квадрат суммы мы получим формулу разности кубов.

      Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы:

      www.grandars.ru

      Смотрите еще:

      • Местонахождение нотариуса Управление Минюста России по Приморскому краю и Ассоциация нотариусов «Приморская краевая нотариальная палата» проведут плановую проверку нотариуса Владивостокского нотариального округа Приморского края 24 […]
      • Статья 14 федерального закона от 05042013 44-фз или копии этих документов Декларация соответствия 44-ФЗ Приветствую вас, уважаемый(ая) коллега! В сегодняшней небольшой статье речь пойдет о декларации соответствия участника закупки требованиям 44-ФЗ . Поскольку в мою службу […]
      • Подарок клиенту как оформить Как правильно делать подарки покупателям при заказе Многие интернет-магазины делают своим клиентам подарки и сюрпризы, добавляя в оплаченный клиентом заказ что-то еще, полезное и приятное. Расчет на то, что […]
    Закладка Постоянная ссылка.

    Комментарии запрещены.