Правила уравнений умножения и деления

Решение простых уравнений. 5 класс

Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].

  • Корень уравнения — это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
  • Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
  • Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

    Информация для родителей

    Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».

    Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.

    Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.

    Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».

    Решение уравнений на сложение и вычитание

    Как найти неизвестное
    слагаемое

    Как найти неизвестное
    уменьшаемое

    Как найти неизвестное
    вычитаемое

    Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

    Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

    Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

    x + 9 = 15
    x = 15 − 9
    x = 6
    Проверка

    x − 14 = 2
    x = 14 + 2
    x = 16
    Проверка

    16 − 2 = 14
    14 = 14

    5 − x = 3
    x = 5 − 3
    x = 2
    Проверка

    Решение уравнений на умножение и деление

    Как найти неизвестный
    множитель

    Как найти неизвестное
    делимое

    Как найти неизвестный
    делитель

    Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

    Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

    Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

    y · 4 = 12
    y = 12 : 4
    y = 3
    Проверка

    y : 7 = 2
    y = 2 · 7
    y = 14
    Проверка

    8 : y = 4
    y = 8 : 4
    y = 2
    Проверка

    math-prosto.ru

    Уравнение — это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения — это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:

    Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:

    Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».

    Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.

    Порядок решения линейных уравнений

    Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).

    Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа — в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,

    Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b.

    Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a),

    Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

    Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

    Особые случаи решения уравнений

    1. Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».
    2. 27 (x — 3) = 0
      27 не равно 0, значит x — 3 = 0

      У второго примера два решения уравнения, так как
      это уравнение второй степени:

      Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:

      — найти общий знаменатель;

      — определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

      — умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);

      — перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;

      — привести подобные члены;

      Основные свойства уравнений

      В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

      Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

      Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

      В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

      shkolo.ru

      Уравнения на умножение

      1) Формировать умение строить алгоритм на примере построения алгоритма решения простых уравнений на умножение, формировать умение использовать построенный алгоритм при решении уравнения.

      2) Тренировать вычислительный навык, решать текстовые задачи.

      Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, синтез, сравнение, аналогия.

      1 этап. Мотивация к учебной деятельности

      1) мотивировать учащихся к учебной деятельности,

      2) определить содержательные рамки урока .

      Организация учебного процесса на этапе 1:

      — Какую тему мы сейчас изучаем на уроках математики? (Умножение и деление)

      — В каких заданиях применяем эти действия? (В решении примеров, задач)

      — Хотите узнать, какие еще есть задания, в которых мы можем использовать эти действия? (Да)

      Ребята, посмотрите, кто сегодня пришел к нам на урок? Вы их узнали? Что вы знаете об этих героях? (…)

      (Появляются знаки вопроса). Что происходит? Колобки озадачены и расстроены. Они хотели выполнить задание, а у них впервые не получилось. Они не знают, как открывать новые знания. Поможем? (…)

      А можно ли приниматься за работу с таким настроением, как у колобков? (Нельзя, не будет результата)

      Давайте улыбнемся друг другу и пожелаем удачи! Ну что же, будем действовать по плану открытия нового знания. Вам он хорошо знаком.

      2 этап. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии

      1) актуализация изученных способов действий, достаточных для построения, их вербальная и знаковая фиксация и обобщение;

      2) актуализация мыслительных и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;

      3) мотивация к пробному учебному действию и его самостоятельному осуществлению;

      4) фиксация учащимися индивидуальных затруднений в выполнении пробного учебного действия или его обосновании.

      Организация учебного процесса на этапе 2:

      1) Актуализация формул нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника.

      С чего начнем? (С повторения). Мы должны повторить все, что знаем? (Нет, только то, что нам пригодится для открытия нового знания)

      — Что нужно найти в этом задании? (Площадь прямоугольника)

      — Как найти площадь прямоугольника? (Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину)

      Появляется формула площади.

      Учащиеся выполняют задание.

      — Чему равна площадь? (18 кв. м)

      — Кто получил другой ответ?

      — В чем ваша ошибка?

      — Как найти неизвестную сторону прямоугольника? (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)

      — Появляется формула нахождения неизвестной стороны прямоугольника.

      — Составьте обратную задачу, в которой нужно найти длину прямоугольника (…)

      — Запишем решение обратной задачи.

      Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18 :3=6(м) – длина

      — Теперь составьте другую обратную задачу.

      Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:6=3 (м) – ширина

      У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).

      2) Актуализация алгоритма решения уравнений на сложение и вычитание.

      — Запишите: сумма Х + 5 равна 7. Как можно назвать эту запись? (Уравнение)

      — Что такое уравнение? (Равенство, в котором есть неизвестное число, называют уравнением)

      — Что поможет нам решить это уравнение? (Эталон решения уравнений на сложение)

      Один ученик у доски с комментированием. (Обозначу компоненты уравнения, подчеркну части, целое (сумму) обведу. Вижу, что неизвестна часть. Чтобы найти неизвестную часть, надо из суммы вычесть известную часть.

      У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (- и +).

      — Почему мы повторили именно это? (Это пригодится нам для открытия нового знания)

      — Какой следующий шаг? (Пробное действие) Для чего оно нужно? (Чтобы понять, чего мы не знаем)

      Учитель раздает учащимся карточки с заданием для пробного действия:

      — Какое задание нужно выполнить? (Решить уравнение)

      — С каким действием? (С умножением)

      — А что нового в этом задании? (Мы не решали уравнения на умножение)

      Попробуйте выполнить это задание. (30 сек.)

      — Кто не выполнил задание?

      Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли решить уравнение)

      — Кто нашел корень уравнения? Какие результаты у вас получились?

      Учитель фиксирует результаты на доске рядом с пробным действием

      — Обоснуйте свое мнение.

      Что вы не можете сделать? (Мы не можем обосновать свой ответ.)

      У вас возникло. (затруднение). Поставим… (знак вопроса) рядом с пробным действием на маршрутном листе.

      — Какой следующий шаг на уроке? (Разобраться, в чем у нас затруднение)

      — А раз возникло затруднение, надо…(Остановиться и подумать)

      3 этап. Выявление места и причины затруднения

      1) восстановить выполненные операции и зафиксировать место затруднения;

      2) соотнести свои действия с используемым способом действий и на этой основе выявить и зафиксировать во внешней речи причину затруднения.

      Организация учебного процесса на этапе 3:

      — Какое задание вы должны были выполнить? (Мы должны были решить уравнение на умножение)

      — Как рассуждали, выполняя пробное действие? (Пытались воспользоваться известным алгоритмом решения уравнений …)

      — В чем затруднение? (Алгоритм не подходит)

      Почему же возникло затруднение? (У нас нет способа для решения уравнений на умножение)

      Вы поняли, чего вы не знаете? (Да). Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с третьим шагом.

      4 этап. Построение проекта выхода из затруднения

      1) согласовать и зафиксировать цель и тему урока;

      2) построить план и определить средства достижения цели.

      Организация учебного процесса на этапе 4:

      — Мы поняли, чего мы не знаем, теперь можем… (Сами открывать способ)

      Сначала нужно поставить цель. Если вы не знаете способа решения уравнений на умножение, значит, ваша цель… (Открыть способ решения таких уравнений)

      — Сформулируйте тему нашего урока (…)

      Написать тему на доске:

      — Будем действовать, как настоящие сыщики. Составим план действий. Слайд

      — Давайте подумаем, что нам может помочь. Вспомните, вы повторили в самом начале урока. (Алгоритм решения уравнений на сложение, формулу нахождения площади)

      — Какая формула может нам помочь? (Формула нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника)

      — Пробуем применить формулу площади прямоугольника.

      — Предлагаю воспользоваться известным вам алгоритмом решения уравнений на сложение.

      Алгоритм.

    3. Выделяю целое и части.
    4. Что неизвестно?
    5. Применяю правило.
    6. Нахожу неизвестное х.
    7. Что в этом алгоритме вам явно не подходит? (1 пункт)
    8. Когда у вас были уравнения на сложение, вы их компоненты соотносили с частями и целым, используя отрезки. А с чем вы соотносили компоненты умножения? (С площадью)
    9. Что будете использовать вместо отрезка? (Моделью прямоугольника)

    Заменим п.1 на Обозначим компоненты уравнения на модели прямоугольника.

    — Остальные пункты алгоритма вам подходят?

    — Используя этот алгоритм, можно попробовать решить уравнение?

    — Что сделаем, чтобы было удобно пользоваться этим правилом всегда? (Запишем правило в общем виде)

    Запишем правило в общем виде.

    — Какими средствами будем пользоваться?

    Пробуем применить формулу площади прямоугольника…

    Средства: модель прямоугольника, алгоритм.

    5 этап. Реализация построенного проекта

    1) реализовать построенный проект в соответствии с планом;

    2) зафиксировать способы записи выражений на эталоне;

    3) организовать фиксацию преодоления затруднения;

    4) организовать уточнение общего характера нового знания.

    Организация учебного процесса на этапе 5:

    Я предлагаю поработать вам в группах. Назовите правила работы в группах.

    Правила работы в группах

    1. В группе должен быть ответственный.

    2. Один говорит, другие слушают.

    3. Свое несогласие высказывать вежливо..

    4. Работать должны все.

    Учащиеся объединяются в группы.

    — Выполните план в группах.

    Ответственный от каждой группы получает задание.

    1. Воспользуюсь моделью прямоугольника, нанесу компоненты уравнения на модель.

    2. Применю правило площади прямоугольника. (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)

    3. Найду корень уравнения

    Мы обозначили на модели прямоугольника числа. Видно, что неизвестна сторона прямоугольника. Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, надо площадь разделить на известную сторону. Выполнили вычисления и нашли корень уравнения, х=5.

    — Что осталось сделать по плану? (Записать уравнение в общем виде)

    — Как записать уравнение в общем виде? (С помощью букв латинского алфавита)

    — Как обозначите в уравнении числа, которые являются сторонами прямоугольника? (Подчеркнем)

    — Число, которое является площадью, предлагаю взять в прямоугольник, почему это удобно? (Напоминает о формуле, которой мы пользуемся)

    — Нужно ли будет составлять другой эталон для случая, где х стоит на месте другого множителя? (Нет)

    — Почему? (Можно воспользоваться переместительным свойством умножения)

    — Как проверить свое открытие? Какие ключи к знаниям у нас есть? (Посмотреть в учебнике)

    Откройте учебники на стр.1. Прочитайте правило.

    Молодцы! Вы помогли колобкам. Слайд (аплодисменты).

    Давайте теперь вернемся к пробному действию.

    Дописать необходимое на доске.

    Смогли вы преодолеть затруднение? (Да). Поставим себе знак + на маршрутном листе.

    На обычной доске под шагом “Сам найду способ” прикрепить новые эталоны.

    Что вы теперь сможете делать с помощью новых знаний? (Решать уравнения)

    6 этап. Первичное закрепление

    1) организовать усвоение детьми нового способа действий при решении уравнений на умножение с их проговариванием во внешней речи.

    Организация учебного процесса на этапе 6:

    1) Фронтальная работа. На доске левая часть-алгоритм, правая – уравнение+модель.

    2) 4 · х=8; 3 · х=9; х · 4=12.

    3) Учитель открывает на доске задание на закрепление. Учащиеся по цепочке выходят к доске и выполняют задание с комментированием. Вариант комментирования:

    — Сначала обозначу площадь прямоугольника квадратом, а стороны подчеркну. В данном уравнении неизвестна сторона прямоугольника. Значит, надо площадь прямоугольника разделить на известную сторону. Восемь разделить на 4 будет 2, х равен 2.

    Дальнейшее выполнение задания комментируется аналогично.

    Физминутка гимнастика для глаз.

    Мы немного отдохнём. и на всё ответ найдём.
    На носочки встанем, руки вверх потянем.
    Руки на пояс, наклоны вперёд.
    Теперь попрыгаем, и сядем на места!

    Сейчас все отдохнули, и новая забота:

    Нужно сделать на “отлично” парную работу.

    Учитель раздает карточки с заданием для работы в парах.

    Учащиеся выполняют задания в парах с комментированием. Проверка организуется по образцу Д-7.

    — Проверьте свои результаты.

    Исправьте ошибки. У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с 5-м шагом. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +)

    — Какой следующий шаг на уроке? (Проверить себя, справимся ли мы самостоятельно)

    7 этап. Самоконтроль с самопроверкой по эталону

    1) тренировать способность к самоконтролю и самооценке;

    2) проверить умение решать уравнения на умножение.

    Организация учебного процесса на этапе 7:

    — Выполните данные уравнения самостоятельно. Учащиеся выполняют самостоятельную работу на карточках

    — Проверка организуется по эталону Д-8.

    — Сделайте вывод. (Нужно еще потренироваться.)

    — Сделайте вывод. (Мы все хорошо усвоили.)

    — У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с 5-м шагом. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).

    8 этап. Включение в систему знаний и повторение

    1) включить новое знание в систему знаний;

    2) тренировать умение решать задачи.

    Организация учебного процесса на этапе 8:

    — Что нужно знать, чтобы правильно решать уравнения на умножение? (Таблицу умножения и деления, формулу площади). Предлагаю вам решить задачу №4 стр.2.

    Учащиеся выполняют задание. Проверка организуется по образцу Д-9.

    — Кто из вас ошибся?

    — В чем ошибка? (В выборе правила, в вычислениях, …)

    9 этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке

    Цели:

    1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

    2) оценить свою работу и работу класса на уроке;

    4) наметить направления будущей учебной деятельности;

    3) обсудить домашнее задание.

    Организация учебного процесса на этапе 9:

    — Какую цель вы перед собой ставили? (…)

    — Достигли ли вы цели? (Докажите)

    — Я предлагаю вам оценить свою работу на уроке. Посмотрите еще раз на свои планы урока, посмотрите, сколько у вас плюсов.

    — На обычной доске изображение колобков по отдельности. Один улыбается. Те из вас, кто считает, что понял и запомнил новую тему, возьмите восклицательные знаки и прикрепите их рядом с улыбающимся Колобком. Те, кто в чем-то еще не уверен, у кого остались вопросы, кто допустил ошибки в самостоятельной работе – прикрепите вопросительный знак рядом с серьезным Колобком. Вы потренируетесь и обязательно преодолеете свое затруднение.

    — Вы сегодня очень хорошо поработали, но значит ли это, что больше не надо тренироваться? (Надо выполнить домашнюю работу)

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Решение уравнений умножением

    Неизвестная величина может быть связана с известной величиной не только знаком + или -, но может быть разделена на какую-нибудь величину, как в этом уравнении: $\frac = b$.

    Здесь решение не может быть найдено, как в предыдущих примерах, переносом члена уравнения. Но если оба члена уравнения умножить на a, уравнение примет вид
    $x = ab.$

    То есть, знаменатель дроби в левой части сокращается. Это может быть доказано свойствами дробей.

    Когда неизвестная величина разделена на известную величину, уравнение решается путем умножения каждой стороны на эту известную величину.

    Те же самые переносы должны быть сделаны в этом случае, как и в предыдущих примерах. Однако надо помнить, что умножать необходимо каждый член уравнения.

    Пример 1. Решите уравнение $\frac + a = b + d$
    Умножаем обе стороны на $c$
    Произведение будет $x + ac = bc + cd$
    И $x = bc + cd — ac$.

    Пример 1. Решите уравнение $\frac + d = h$
    Умножаем на $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
    И $x = ag + bh — ad — bd.$

    Когда неизвестное значение находится в знаменателе дроби, уравнение решается похожим способом, то есть умножением уравнения на знаменатель.

    Пример 3. Решите уравнение $\frac<6> <10-x>+ 7 = 8$
    Умножая на $10 — x$ $6 + 70 — 7x = 80 — 8x$
    Тогда $x = 4$.

    Хотя это и не обязательно, но часто очень удобно избавиться от знаменателя дроби, состоящего только из известных величин. Это можно сделать, похожим способом, когда избавляются от знаменателя, включающего в себя неизвестную величину.

    Возьмем для примера $\frac = \frac + \frac$
    Умножаем на a $x = \frac + \frac$
    Умножаем на b $bx = ad + \frac$
    Умножаем на c $bcx = acd + abh$.

    Или, мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.

    В этом же самом уравнении $\frac = \frac + \frac$
    Умножаем члены на abc $\frac = \frac + \frac$

    После сокращения каждого одинакового значения в одной дроби, получим $bcx = acd + abh$, как и в предыдущем варианте. Отсюда,

    В уравнении можно избавиться от дробей, умножая каждую сторону уравнения на все знаменатели.

    При избавлении от дробей в уравнении необходимо соблюдать правильность написания знаков и коэффициентов каждой дроби в процессе раскрытия скобок

    Уравнение $\frac = c — \frac<3b - 2hm - 6n>$ является
    равным этому уравнению $ar — dr = crx -3bx + 2hmx + 6nx$.

    www.math10.com

    Карточка-шпаргалка «Решение уравнений. Как найти неизвестное», умножение и деление, 11х20 см

  • Характеристики
  • Описание
  • Задать вопрос
  • Оставить отзыв
Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.