Правила вычетания

Вычитание целых чисел, правила, примеры.

Дальше из смысла вычитания целых чисел будет понятно, что результат вычитания целых чисел представляет собой целое число.

Когда мы изучали вычитание натуральных чисел, была установлена связь между сложением и вычитанием, которая позволила нам определить вычитание как нахождение одного из слагаемых по известной сумме и другому слагаемому. Будем считать, что вычитание целых чисел имеет тот же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых находится другое слагаемое (здесь как ни крути нужно знать, что собой представляет сложение целых чисел).

Смысл вычитания целых чисел, выясненный в предыдущем пункте, не дает нам способа вычисления разности. Действительно, на основании смысла вычитания целых чисел мы лишь можем сказать, что одно из известных слагаемых является результатом вычитания из их суммы другого известного слагаемого. Однако если одно из слагаемых неизвестно, то мы не знаем, чему равна разность между суммой и известным слагаемым. Таким образом, нам необходимо правило, позволяющее вычитать из одного целого числа другое.

Докажем озвученное правило вычитания, то есть докажем, что значение выражения a+(−b) равно разности целых чисел a и b . Для этого, в силу смысла вычитания целых чисел, нужно прибавить к a+(−b) вычитаемое b и убедиться, что получается уменьшаемое a , то есть, нужно проверить справедливость равенства (a+(−b))+b=a . Это нам позволяют сделать свойства сложения целых чисел, на их основании мы можем записать цепочку равенств вида (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , которая и служит доказательством правила вычитания целых чисел.

Осталось рассмотреть применение правила вычитания целых чисел при решении примеров.

Вычитание целого положительного числа, примеры

По правилу, чтобы из данного числа 16 вычесть целое положительное число 36 нужно к уменьшаемому 16 прибавить число −36 , противоположное вычитаемому 36 . То есть, искомая разность равна сумме целых чисел 16 и −36 . Осталось лишь вычислить эту сумму целых чисел с противоположными знаками, она получается равной −20 . Таким образом, результатом вычитания из 16 числа 36 является число −20 .

Все решение можно записать в одну строку: 16−36=16+(−36)=−20 .

Отнимите от целого отрицательного числа −100 целое положительное число 50 .

Кратко нахождение разности указанных целых чисел можно записать так: −100−50=−100+(−50)=−150 .

Правило вычитания целых чисел позволяет получить важный результат, касающийся вычитания нуля из данного целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, то есть, a−0=a , где a – произвольное целое число.

Отнимите от целого числа 0 целое отрицательное число −411 .

От целого отрицательного числа −303 было отнято целое отрицательное число −255 , и была получена разность −47 . Правильно ли выполнено вычитание?

Выполним проверку. Для этого к разности прибавим вычитаемое: −47+(−255)=−302 . Так как мы получили число, отличное от уменьшаемого −303 , при вычитании целых чисел где-то была допущена ошибка.

www.cleverstudents.ru

Навигация по странице.

Для описания вычитания целых чисел мы будем использовать все термины и обозначения, которыми мы пользовались при описании вычитания натуральных чисел.

Целое число, из которого проводится вычитание, будем называть уменьшаемым. Целое число, которое вычитаем, будем называть вычитаемым. Результат вычитания будем называть разностью.

Для обозначения вычитания будем использовать знак минус, который будем располагать между уменьшаемым и вычитаемым. Уменьшаемое, вычитаемое и полученную разность будем записывать в виде равенства. Например, если при вычитании из целого числа a целого числа b получается число c , то можно записать равенство вида a−b=c . Например, в равенстве вида −5−(−43)=38 целое число −5 является уменьшаемым, целое число −43 – вычитаемым, а 38 – разностью.

Смысл вычитания целых чисел

Приведем несколько примеров для конкретики.

Пусть мы знаем, что −4+9=5 , тогда разность 5−9 равна −4 . Еще пример. Допустим нам известно, что сумма двух целых чисел −17 и −3 равна −20 , тогда вычитание из целого числа −20 целого числа −3 в результате дает −17 , а разность −20−(−17) равна −3 .

Правило вычитания целых чисел

Приведем формулировку правила вычитания целых чисел, после чего приведем его обоснование.

Чтобы вычислить разность двух целых чисел, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, то есть, a−b=a+(−b) , где a и b – целые числа, b и −b – противоположные числа.

Выполните вычитание из числа 16 целого положительного числа 36 .

Вычитание нуля, примеры

Согласно правилу вычитания целых чисел, вычитание нуля есть прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. А так как нуль является числом, противоположным самому себе, то вычесть нуль – это все равно, что прибавить нуль. Но в силу соответствующего свойства сложения, прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом, a−0=a+(−0)=a+0=a .

Рассмотрим несколько примеров вычитания нуля из различных целых чисел. Разность 45−0 равна 45 . Если из целого отрицательного числа −6 005 вычесть нуль, то получим −6 005 . Если от нуля отнять нуль, то в результате получим нуль.

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Вычисление разности 0−(−411) по правилу вычитания целых чисел сводится к прибавлению к уменьшаемому 0 числа, противоположного вычитаемому −411 . Так как целому отрицательному числу −411 противоположно число 411 , то 0−(−411)=0+411=411 .

Вычислите разность −5−(−45) .

Вычитание равных целых чисел

Поясним последнее утверждение. По правилу вычитания целых чисел a−a=a+(−a)=0 . То есть, вычесть из целого числа равное ему число – это все равно, что прибавить к данному числу, противоположное ему число, что дает нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел проводится при помощи сложения. Чтобы проверить, правильно ли было проведено вычитание целых чисел, нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться уменьшаемое.

Сейчас мы разберемся с тем, как выполняется вычитание целых чисел. Сначала введем термины и обозначения. Далее озвучим смысл вычитания целых чисел, от которого перейдем к правилу, позволяющему сводить вычитание целых чисел к сложению, и рассмотрим примеры использования этого правила при вычитании целого положительного, целого отрицательного числа и нуля. После этого научимся выполнять проверку вычисленной разности, и посмотрим, что собой представляет вычитание целых чисел на координатной прямой.

Термины и обозначения

Выражения вида a−b также будем называть разностью, как и значение этого выражения.

Озвученный смысл вычитания целых чисел позволяет нам утверждать, что разность c−b равна a и разность c−a равна b , если сумма a+b равна c , где a , b и c – целые числа.

Чтобы выполнить требуемое действие нужно к уменьшаемому −100 прибавить число −50 , которое противоположно вычитаемому 50 , — этого требует правило вычитания целых чисел. Нахождение суммы целых отрицательных чисел −100 и −50 не должно вызвать затруднений: −100+(−50)=−150 . Следовательно, искомая разность равна −150 .

Нам нужно провести вычитание из −5 целого отрицательного числа −45 . Для этого нам нужно вычислить сумму двух чисел: уменьшаемого −5 и числа 45 , противоположного вычитаемому −45 . Имеем −5−(−45)=−5+45=40 .

Отдельно хочется сказать о вычитании равных целых чисел. Дело в том, что если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю, то есть, a−a=0 , где a – любое целое число.

Приведем пару примеров. Разность равных целых чисел −67 и −67 равна нулю; если из 653 вычесть равное ему число 653 , то мы также получим 0 . Наконец, если от нуля отнять нуль, то мы получим нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел

Правила вычетания

Как складывает два двоичных числа компьютер мы разобрались, но, на всякий случай, повторим, пощелкав выключателями на приведенной с правой стороны интерактивной модели полусумматора, немного нами усовершенствованного, по отношению к предыдущей демонстрации (анимации).
А именно:
переключатели теперь стали именованными;
под переключателями разместили индикаторы логического состояния;
выделили кнопку, позволяющую нажимать одновременно оба выключателя

Вот теперь настало самое время разобраться с помощью анимированной модели полувычитателя с тем, как компьютер вычитает. Пржде всего, давайте вспомним правила вичитания двоичных чисел.

Правило 1) 0 — 0 = 0
Правило 2) 1 — 0 = 1
Правило 3) 0 — 1 = 1 и занимаем единицу
Правило 4) 1 — 1 = 0

Очевидно то, что за исключением цифры заема, эти правила ни чем не отличаются от правил двоичного сложения. Следовательно, с незначительными изменениями схема полусумматора может быть использована и для вычитания, только анимированный левый ключ должен быть замкнут, когда ключи вычитаемого находятся в верхнем положении. В то же время в схеме сложения он был разомкнут, когда ключи первого слагаемого находились в верхнем положении.

Компьютер, перевод из схемы «полусумматора» в «полувычитатель», производит по специальной команде, которая, как уже говорилось, поступает из блока памяти вместе с цифровой информацией.

Имея арифметическое устройство такое как на верхней анимации, очень легко его приспособить для умножения. Вспомните, как производится умножение в двоичной системе счисления. Там все сводится к суммированию множимого столько раз, сколько единиц встречается во множителе. Только при этом сдвигать множимое влево, как и при умножении десятичных чисел. Значит, опять можно ипользовать все то же арифметическое устройство! Команды сдвига формируются отдельно.

Деление, как вам известно, в двоичной системе сводится к сдвигу делителя и к сложению чисел в дополнительном коде. Проще всего для этого приспособить схему на «полувычитателях».

Что бы арифметическое устройство ни делало: складывало, вычитало, умножало или делило, все равно полученный результат из него снова попадает в блок памяти, освобождая место для новых операций. Если это был окончательный результат, то он в блоке памяти долго не залеживается, а тут же выдается на выходное устройство для потребителя. Если же результат является промежуточным и ешение задачи еще не закончено, то он хранится в блоке памяти и ждет своей очереди, пока снова не попадет в арифметическое устройство.

Познакомившись с тем, как считает ЭВМ, давайте сравним ее с человеком по скорости арифметических операций.

Кто из них быстрее считает, человек или машина?

Многие из ребят, наверное, удивятся такой постановке вопроса.

Они даже готовы спорить, что именно в скорости счета человек уступает машине. Об этом очень много писалось в книгах и журналах. Но это не совсем так. . .

Несколько лет назад во Франции по телевидению передавалось из города Лилля сенсационное выступление Мориса Дагбера, за которым с напряжен­ ным вниманием следили миллионы зрителей. М. Дагбер официально устроил поединок с самой современной электронной вычислительной машиной, вы­звав ее на соревнование по скорости вычислений. Человек соглашался при­знать себя побежденным, если машина решит семь задач из десяти, предло­женных жюри, раньше, чем он, Дагбер, решит все десять задач.

Жюри предложило три задачи на извлечение кубических корней из чисел 48 627 125, 1092 727 и 246 491883, пять задач по возведению в степень — 89 3 , 57 4 , 38 5 , 71 8 , 99 7 . Девятая задача была относительно легкой — разде­лить 1515 на 45. А в последней, десятой задаче предлагалось выразить воз­раст одного из членов жюри (ему в этот день исполнился 51 год) в днях, часах и секундах.

Феноменальный француз, как назвал его комментатор телевидения, ре­ шил все десять задач за 3 минуты 43 секунды, дав следующие точные ответы: по первой группе (извлечение корней) —365, 103 и 627; по второй (возве­дение в степень) — 704 969, 10 556001, 79235168, 128100283921 и 93 206 534 790 699, а также ответы на девятый вопрос — 33, 666(6) и на последний—18 627 дней, 447 048 часов, или 1609 372 800 секунд.

На решение всех десяти задач Дагберу понадобилось на 1 минуту 35 секунд меньше времени, чем машине на решение семи задач! ЭВМ затратила времени 5 минут 18 секунд.

Результаты, показанные Дагбером,еще раз подчеркнули непревзойден­ ность человеческого мозга, который остается самой замечательной из всех известных вычислительных машин.

Мозг человека намного сложнее современной вычислительной машины. Большая ЭВМ состоит из нескольких тысяч электронных ламп или транзи­сторов и в десять или двадцать раз большего числа других радиодеталей. В ней примерно от 50 до 100 тысяч элементов.

Количество нервных клеток в мозге человека приблизительно равно 10 000 000 000, что соответствует числу элементов в ста тысячах больших вычислительных машин.

Иными Словами, мозг одного человека содержит больше элементов, чем все вычислительные машины мира, вместе взятые!

Человеческий мозг — величайшая загадка природы. Именно ее решение поможет инженерам создать ЭВМ будущего. Кто знает, может быть, кому-нибудь из читателей этой книги посчастливится приоткрыть, хотя бы немно­ го, тайну человеческого мозга — логику и устройство человеческой вычисли­ тельной машины.

А пока о человеческом мозге известно очень мало. В мозге информация передается по нервным волокнам и сигналы состоят из импульсов возбужде­ ния—«все или ничего».

Та же двоичная система цифр, что и у машины!

somit.ru

Математика

Тестирование онлайн

Сложение чисел

Результат сложения двух или более чисел называется суммой, а сами числа — слагаемыми.

Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком «минус». Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.

Вычитание чисел

Результат действия называется разностью. Сами числа — уменьшаемое и вычитаемое.

Сложение положительного и отрицательного числа — это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа. Для того, чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо от большего числа вычесть меньшее, а знак суммы должен совпадать со знаком большего числа.

Умножение чисел

Результат умножения двух или более чисел называется произведением, а сами числа — множителями.

Умножить число а на b — значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.

Например,

Произведение двух чисел одного знака есть число положительное. Например,

Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Например,

От перестановки множителей значение произведения не изменяется ab=ba.

Законы сложения*

1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a+b=b+a. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения, который формулируется так: от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (a+b)+с=a+(b+с). Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения, который формулируется так: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой.

Законы умножения*

1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab=ba. Это свойство называют переместительным законом умножения, который формулируется так: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (ab)с=a(bс). Это свойство называют сочетательным законом умножения, который формулируется так: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

3) При любых значениях a, b и c верно равенство (a+b)с=aс+bс. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения), который формулируется так: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения. Аналогично можно записать: (a-b)с=aс-bс.

fizmat.by

Смотрите еще:

  • Правила умножения многочленов Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно: каждый одночлен первого многочлена умножить на каждый одночлен второго многочлена; полученные произведения сложить (то есть записать друг за другом с учетом […]
  • Случайная величина имеет закон распределения Случайная величина имеет закон распределения Раздел 6. Типичные законы распределения и числовые характеристики случайных величин Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(хi) называют законом распределения […]
  • Форсунки возврата воды донная Форсунка возврата воды донная (плитка) «Kripsol BIF.C» Форсунка возврата воды донная (плитка) Kripsol BIF.С предназначена для подачи воды в бассейн в режимах наполнения и рециркуляции. Область применения: […]
Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.