Правило делимости на 25

Правило делимости на 25

Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:

Признак делимости на 2 n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5 n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Признак делимости на 10 n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

www.math.com.ua

Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядную единицу

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными .

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24 : 4 = 6);
103 456 (56 : 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; 10 720.

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18 : 9 = 2).

Признак делимости чисел на 10

На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30; 980; 1 200; 1 570.

Признак делимости чисел на 11

На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22 : 11 = 2).

Признак делимости чисел на 25

На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 ( 50 : 25 = 2);

1 475 (75 : 25 = 3).

Признак делимости чисел на разрядную единицу

На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

shkolo.ru

Что такое признак делимости

Признак делимости натурального числа n на m — способ быстро определить, делится ли n на m — быстрее, чем при попытке выполнить деление и посмотреть, какой остаток. Обычно признаки делимости используются для ускорения ручных расчётов, значительная их часть плохо приспособлена для программирования.

Признаки делимости на 2, 5, 10, 100, 1000.

Признаки делимости на 2, 5, 10 — самые простые из всех: достаточно лишь посмотреть на последнюю цифру числа. Признак делимости на 2: если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на два (то есть последняя цифра должна делиться на 2), иначе не делится. Признак делимости на 5: если последняя цифра числа — 0 или 5, то число делится на 5, иначе не делится. Признак делимости на 10: если число оканчивается на 0, оно делится на 10, иначе не делится. Признак делимости на 100: число должно оканчиваться на 00. Как определить, делится ли число на 1000, 10000 и т.д., тут, видимо, и так ясно.

Признаки делимости на 3, 6, 9, 18

Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его делится на 3. Например, 1002 делится на 3 (1002 = 334 * 3; 1 + 2 = 3); 5777 не делится на 3 (5 + 7 + 7 + 7 = 26 = 3 * 8 + 2). Признак делимости на 6: если число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Такой признак можно применить исходя из того, что числа 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1.

Признак делимости на 9: аналогично — если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9, иначе не делится. Например, 126 делится на 9 (1 + 2 + 6 = 9; 126 = 14 * 9). Поскольку 9 и 2 имеют в качестве общего делителя только 1, то признак делимости на 18: если число одновременно делится на 2 и 9, то оно делится на 18.

Признаки делимости на 20, 25, 50, 4, 8, 16, 32.

О делимости числа на 20, 25, 50, 4 судят по двум последним цифрам (точнее, двузначному числу, ими образованному). Если проверяемое число оканчивается на 00, 20, 40, 60, 80, то оно делится на 20, если на 00, 25, 50, 75, то оно делится на 25, если на 00 или 50, то оно делится на 50. Если две последние цифры числа n образуют двузначное число, делящееся на 4, то и число n делится на 4. Например, 124 делится на 4, так как 24 делится на 4. 12496 делится на 4, так как 96 делится на 4. А вот 294 и 394 не делятся на 4, так как 94 не делится на 4. Названные в этом абзаце признаки делимости, использующие две последние цифры, опираются на тот факт, что 4, 20, 25, 50 — делители числа 100.

Если три последние цифры числа n образуют трёхзначное число, делящееся на 8, то и число n делится на 8. Например, 1104 делится на 8, поскольку 104 делится на 8. Данный факт имеет место за счёт того, что 8 — делитель числа 1000. Аналогичные правила можно составить для 16 и последних четырёх цифр, 32 и последних пяти цифр, другое дело, что эти признаки не так уж удобны.

Признаки делимости на 7 и 11

Один из признаков делимости на 7: утроенное количество десятков, сложенное с количеством единиц, делится на 7. Например, 231 делится на 7: 23 * 3 + 1 = 70 — делится на 7. 2009 делится на 7: 200 * 3 + 9 = 609; 60 * 3 + 9 = 189; 18 * 3 + 9 = 63 — делится на 7.

Пусть s1 — сумма цифр, занимающих нечётные позиции, s2 — сумма цифр, занимающих чётные позиции. Если |s1-s2| делится на 11, то и число делится на 11. Допустим, возьмём 7421 * 11 = 81631. s1 = 8 + 6 + 1 = 15; s2 = 3 + 1 = 4; |s1 — s2| = 11.

Удобные общие свойства

Если m, k не имеют общих делителей, кроме 1, и число n делится на m и делится на k, то n делится на mk. Примеры — выше приведённые признаки делимости на 6 и 18. Если же наибольший общий делитель m и k выше 1, такой признак использовать нельзя. Например, если число одновременно делится на 4 и 6, то не факт, что оно делится на 24 (пример — 36).

Только что названный признак можно обобщить так: если число n делится на m и делится на k, то n делится на наименьшее общее кратное m и k. Например, если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 12.

Пусть p = kq, где k > 1 — натуральное число. Если n делится на p, то n делится на q, а если n не делится на q, то n не делится и на p. Яркий пример: нечётное число не делится на 4, поскольку оно не делится на 2, в итоге тут можно даже не использовать правило последней пары цифр, названное выше (в случае чётного числа для проверки делимости на 4 придётся применять то правило).

crypto.hut2.ru

Признаки делимости

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:

3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное

число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,

это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр:

3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.

Но это число не делится на 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …

А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!

www.bymath.net

Свойства делимости чисел

Чётное число – это число, которое делится на 2 .

Нечётное число – не делится на 2 .

Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.

Число 52 738 делится на 2 , так как у него последняя цифра 8 которая является чётной.

Число 7691 не делится на 2 , так как цифра 1 находящаяся в конце нечетная.

Число 1250 делится на 2 , так как цифра, которая находится в конце нуль.

Число делится на 4 , при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4 . В остальных случаях – не делится.

Число 31 800 делится на 4 , так как в его окончании находятся два нуля.

Число 325 734 не делится на 4 , так как крайние две цифры дают число 34 , которое не делится на 4 .

Число 15 608 делится на 4 , так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8 , которое делится на 4 .

Число делится на 8 , в случае, когда три последние цифры его нули или формируют число, делящееся на 8 . В остальных случаях – не делится.

Число 225 000 делится на 8 , так как оканчивается тремя нулями.

Число 180 004 не делится на 8 , так как три крайние цифры дают число 4 , которое не делится на 8 .

Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120 , которое делится на 8 .

Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16 , 32 , 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.

На число 3 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 3 .

На число 9 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 9 .

Число 17 835 делится на 3 и не может быть разделено на 9 , так как сумма его цифровых значений 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 может быть разделено на 3 и не делится на 9 .

Число 106 499 не может быть разделено ни на 3 , ни на 9 , так как составляющие его цифры в сумме даёт число 29 которое не делится как на 3 , так и на 9 .

Число 52 632 может быть разделено на 9 , так как сумма цифр входящих его состав 18 которое делится на 9 .

Число делится на 6 , когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3 . В противном случае – не делится.

Число 126 может быть разделено на 6 , в виду того, что оно делится и на 2 и на 3 .

На 5 делятся те числа, у которых последняя цифра 0 или 5 . Другие – не делятся.

Число 240 может быть разделено на 5 , так как последняя цифра 0 .

Число 554 не делится на 5 , так как последняя цифра 4 .

На 25 можно разделит только те числа, у которых две крайние цифры нули либо формируют число, которое может быть разделено на 25 , например числа оканчивающиеся на 00 , 25 , 50 или 75 . Другие — не делятся.

Число 7150 можно разделить на 25 , так как оканчивается на 50 .

Число 4855 не получится разделить на 25 .

Числа делятся на 10 , когда последняя цифра является нулём.

Числа делятся на 100 , если две последние цифры этих чисел нули.

Числа делятся на 1000 , если три конечные цифры у них нули.

8200 можно разделить на 10 и на 100 .

542 000 можно разделить на 10 , 100 и 1000 .

На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11 .

103 785 можно разделить на 11 , так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12

9 163 627 можно разделить на 11 , так как при вычитании из 28 числа 6 получается 22 , которое делится на 11 . ( 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ) ( 1 + 3 + 2 = 6 )

461 025 не может разделено на 11 , в виду того что числа 7 и 11 взаимно не ровны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 11 – 7 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11 ).

Существуют признаки делимости так же и на другие числа, но эти признаки гораздо сложнее.

simple-math.ru

Смотрите еще:

  • Как платить налог усн 6% Усн 6% без сотрудников - можно платить раз в году все платежи? 1) Я зарегистрировал в мае 2015 ИП без сотрудников, УСН 6%. Моя обязанность в платежах государству это раз в году в декабре заплатить в ПФР и в […]
  • Проблемы реализации законов Проблемы реализации законов Журнал "Недвижимость и инвестиции. Правовое регулирование" Номер 4 (25) Декабрь 2005г. Проблемы реализации закона о концессионных соглашениях Вилисов М.В., заместитель директора […]
  • Проживание в анапе отдых Жилье в Анапе На нашем сайте Вы можете выбрать и снять жилье в Анапе без посредников, посмотреть цены, отзывы, фото и забронировать, связавшись напрямую с владельцами. Цены с человека: Количество просмотров: […]
Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.