Правило линейного уравнения

Решение линейных уравнений с одной переменной.

После того как мы узнали, что такое уравнение, и научились решать самые простые из них, в которых находили неизвестное слагаемое, уменьшаемое, множитель и т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения, целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными.

Навигация по странице.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 числовые коэффициенты a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором — b=3,33 .

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям. При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

  • единственный корень при a≠0 ,
  • не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
  • имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям, то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

  • перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
  • а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
  • Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .

    А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

    Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

    Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

    Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

    Обозначим корень как x1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x2 , причем x2≠x1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x1−x2≠0 . Так как x1 и x2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x1+b=0 и a·x2+b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств, имеем a·x1+b−(a·x2+b)=0−0 , откуда a·(x1−x2)+(b−b)=0 и дальше a·(x1−x2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x1−x2≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .

    Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .

    При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

    Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .

    Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

    • Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
    • Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
    • Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
    • Если же a отлично от нуля, то
      • коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
      • после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .
      • Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

        В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

        Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

        • Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
        • Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .
        • Примеры решения линейных уравнений

          Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

          www.cleverstudents.ru

          Решение линейных уравнений 7 класс

          Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

          Свойство № 1
          или
          правило переноса

          При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный .

          Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

          Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

          Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.

          Так как в левой части уравнения у числа « 3 » был знак « + », значит в правую часть уравнения « 3 » перенесется со знаком « − ».

          Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.

          Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

          Рассмотрим другое уравнение.

          По правилу переноса перенесем « 4x » из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.

          Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».

          Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

          Свойство № 2
          или
          правило деления

          В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число .

          Но нельзя делить на неизвестное!

          Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

          Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.

          Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

          Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».

          Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « 4 », чтобы
          получить « 1 »?». Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».

          Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ». Не забудьте, что делить нужно и левую , и правую части.

          Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

          Как решить уравнение, если « x » отрицательное

          Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.

          Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?». Нужно разделить на « −2 ».

          math-prosto.ru

          Что такое линейное уравнение

          Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?

          В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.

          Определение.

          Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

          Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

          Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

          Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

          При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

          Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

          Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

          В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

          При a=0, b≠0 линейное уравнение

          При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

          При a=0, b=0 линейное уравнение

          имеет бесконечное множество решений.

          При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

          Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

          Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

          Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

          www.algebraclass.ru

          Правило линейного уравнения

          Внимание!
          К этой теме имеются дополнительные
          материалы в Особом разделе 555.
          Для тех, кто сильно «не очень. »
          И для тех, кто «очень даже. » )

          Линейные уравнения.

          Линейные уравнения — не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)

          Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

          Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: «где а и b – любые числа». А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:

          Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:

          Что напрягает и подрывает доверие к математике, да. ) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.

          Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)

          Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное, это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:

          Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс. А вот уравнение

          нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом. После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.

          Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)

          Решение линейных уравнений. Примеры.

          Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.

          Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.

          Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) — в правой.

          Для этого нужно перенести 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а 3 — в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря. ) Получим:

          Приводим подобные, считаем:

          Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно — делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:

          Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.

          Например, вот это уравнение:

          С чего начнём? С иксами — влево, без иксов — вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.

          Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?

          95 человек из 100 ответят: дроби! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования. На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число. Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком. Вот как выглядит первый шаг:

          Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:

          Раскрываем оставшиеся скобки:

          Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:

          И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:

          Вот и всё. Ответ: х=0,16

          Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)

          Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.

          Но. Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать. ) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

          Особые случаи при решении линейных уравнений.

          Сюрприз первый.

          Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:

          Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса — вправо. Со сменой знака, всё чин-чинарём. Получаем:

          Считаем, и. опаньки. Получаем:

          Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да. ) Тупик?

          Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.

          Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)

          Да. Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите — можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.

          Вот вам и ответ: х — любое число.

          Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.

          Сюрприз второй.

          Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:

          После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:

          Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред — вполне веское основание для правильного решения уравнения.)

          Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)

          Вот вам и ответ: решений нет.

          Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.

          Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)

          Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

          А на ЕГЭ они будут? — слышу вопрос практичных людей. Отвечаю. В чистом виде — нет. Слишком элементарны. А вот в ГИА, или при решении задачек в ЕГЭ, вы с ними столкнётесь обязательно! Так что, меняем мышку на ручку и решаем.

          Ответы даны в беспорядке: 2,5; нет решений; 51; 17.

          Получилось?! Поздравляю! У вас хорошие шансы на экзаменах.)

          Не сходятся ответы? М-да. Это не радует. Эта не та тема, без которой можно обойтись. Рекомендую посетить Раздел 555. Там очень подробно расписано, что надо делать, и как это делать, чтобы не запутаться в решении. На примере этих уравнений.

          А как решать уравнения более хитрые, — это в следующей теме.

          Если Вам нравится этот сайт.

          Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

          Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

          А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

          www.egesdam.ru

          Решение простых линейных уравнений

          В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

          Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

          Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

          Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

          Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

        • Раскрыть скобки, если они есть;
        • Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
        • Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
        • Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .
        • Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

          1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
          2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.
          3. А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

            Примеры решения уравнений

            Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

            Решаются такие конструкции примерно одинаково:

          4. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
          5. Затем свести подобные
          6. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.
          7. Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

            В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

            Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

            Схема решения простейших линейных уравнений

            Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

          8. Раскрываем скобки, если они есть.
          9. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
          10. Приводим подобные слагаемые.
          11. Разделяем все на коэффициент при «иксе».
          12. Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

            Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

            На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

            Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

            Вот мы и получили ответ.

            \[5\left( x+9 \right)=5x+45\]

            В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

            И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

            При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

            Третье линейное уравнение уже интересней:

            \[\left( 6-x \right)+\left( 12+x \right)-\left( 3-2x \right)=15\]

            Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

            Выполняем второй уже известный нам шаг:

            Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

            Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

            Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

            • Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
            • Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.
            • Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

              Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные. А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

              Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

              Решение сложных линейных уравнений

              Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

              Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

              \[12-\left( x-6x\cdot x \right)=3x\cdot 2x-3x+2x\]

              Теперь займемся уединением:

              Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

              Выполняем те же действия. Первый шаг:

              \[8\cdot 2x-8-\left( 5\cdot 3x+5\cdot 0,8 \right)=x-4\]

              \[16x-8-\left( 15x+4 \right)=x-4\]

              Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

              Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

              либо корней нет.

              Нюансы решения

              Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

              Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

              \[12-\left( 1-6x \right)x=3x\left( 2x-1 \right)+2x\]

              Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое. Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

              И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

              Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

              \[8\left( 2x-1 \right)-5\left( 3x+0,8 \right)=x-4\]

              Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

              Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

              Решение ещё более сложных линейных уравнений

              То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

              \[\left( 7x+1 \right)\left( 3x-1 \right)-21<^<2>>=3\]

              Давайте перемножим все элементы в первой части:

              \[7x\cdot 3x+7x\cdot \left( -1 \right)+1\cdot 3x+1\cdot \left( -1 \right)-21<^<2>>=3\]

              Давайте выполним уединение:

              Выполняем последний шаг:

              Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

              \[\left( 1-4x \right)\left( 1-3x \right)=6x\left( 2x-1 \right)\]

              Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

              \[1\cdot 1+1\cdot \left( -3x \right)+\left( -4x \right)\cdot 1+\left( -4x \right)\cdot \left( -3x \right)=6x\cdot 2x+6x\cdot \left( -1 \right)\]

              А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

              Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

              Приводим подобные слагаемые:

              Мы вновь получили окончательный ответ.

              Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

              Об алгебраической сумме

              На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

              Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

              В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

              Решение уравнений с дробью

              Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

            • Раскрыть скобки.
            • Уединить переменные.

          Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

          Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

        • Избавиться от дробей.
        • Привести подобные.
        • Разделить на коэффициент.
        • Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

          Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

          Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

          \[\left( 2x+1 \right)\left( 2x-3 \right)=\left( <^<2>>-1 \right)\cdot 4\]

          \[2x\cdot 2x+2x\cdot \left( -3 \right)+1\cdot 2x+1\cdot \left( -3 \right)=4<^<2>>-4\]

          Выполняем уединение переменной:

          Выполняем приведение подобных слагаемых:

          \[-4x=-1\left| :\left( -4 \right) \right.\]

          Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

          Здесь выполняем все те же действия:

          \[1\cdot 1+1\cdot 5x+\left( -x \right)\cdot 1+\left( -x \right)\cdot 5x+5<^<2>>=5\]

          Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

          Ключевые моменты

          Ключевые выводы следующие:

        • Знать алгоритм решения линейных уравнений.
        • Умение раскрывать скобки.
        • Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
        • Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.
        • Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

          1. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
          2. Как решать биквадратное уравнение
          3. Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
          4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
          5. Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
          6. Репетитор по математике: где брать учеников?
            • Бесплатная подготовка к ЕГЭ 7 простых, но очень полезных уроков + домашнее задание
            • Чтобы посмотреть видео, введите свой E-mail и нажмите кнопку «Начать обучение»

              • Репетитор с 12-летним опытом
              • Видеозапись каждого занятия
              • Единая стоимость занятий — 3000 рублей за 60 минут
              • www.berdov.com

                Смотрите еще:

                • Статья 14 федерального закона от 05042013 44-фз или копии этих документов Декларация соответствия 44-ФЗ Приветствую вас, уважаемый(ая) коллега! В сегодняшней небольшой статье речь пойдет о декларации соответствия участника закупки требованиям 44-ФЗ . Поскольку в мою службу […]
                • Бланк заявление на оформление земли в собственность Инструкция по составлению заявления о предоставлении земельного участка в собственность: образец и перечень необходимых документов Законодательство РФ предоставляет возможность гражданам страны, а также […]
                • Тяжкое удо Тяжкое удо В настоящее время освободиться условно-досрочно вполне осуществимо, если учитывать определенную специфику и готовиться к формальному сроку наступления УДО заранее. Прежде всего, необходим большой […]
Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.