Правило лопиталя неопределенность

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при xа, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1 ∞ , 1 0 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

  • .
  • .
  • .
  • Обозначим .

    Прологарифмируем это равенство . Найдем .

    Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или .

    Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

    Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде

    В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

    Для того чтобы этот многочлен был «близок» к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

    Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.

    Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

    Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому

    Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

    Учитывая третье условие и то, что

    ,

    получим , т.е. .

    Далее . Значит, , т.е. .

    Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

    Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

    Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

    Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1) (x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

    Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

    где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.

    Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде

    где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

    РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

      Рассмотрим функцию f(x)=e x . Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

    Таким образом, получаем

    Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .

    Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

    причем остаток

    Отметим, что для любого x Î R остаточный член

    Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина e ξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 e ξ x . Докажем, что при фиксированном x

    Имеем

    Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x| N можем написать

    Но , не зависящая от n, а так как q x с любой степенью точности.

    Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

    Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

    Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

    Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

    .

    Так как , то аналогично разложению e x можно показать, что для всех x.

    Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

    Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

    Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

    f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

    Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

    f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

    Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

    Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

    Можно доказать, что если x Î (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].

    При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

    Можно показать, что при |x| f(x2).

    Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

    Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

    Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

    Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

    Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

    1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f ‘(x)≥ 0.
    2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ‘ (x)≥ 0 для a 0, то x 0. Но тогда и Аналогично, если Δx x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x) 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x10,x1x2>0 Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

    Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

    Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

    Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.

    Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

    Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f ‘(x)>0 – для возрастания или f ‘(x)

    www.toehelp.ru

    Правило лопиталя неопределенность

    Ключевые слова: правило Лопиталя, раскрытия неопределенностей

    Правило Лопиталя.
    Пусть при $$x \to a$$ для f(x) и g(x), дифференцируемых в некоторой окрестности точки a, выполняются условия:

    1. либо $$f(x)\to 0$$, $$g(x)\to 0$$, либо $$f(x)\to \infty$$, $$g(x)\to \infty$$;
    2.
    существует предел $$lim_<\frac>$$.

    Это правило позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности, т.е. когда функции f и g одновременно являются либо бесконечными большими, либо бесконечно малыми в точке a .

    Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределенностей типа:
    $$\frac<0><0>$$ или $$\frac<\infty><\infty>$$ .

    Неопределенности вида 0 · $$\infty$$, $$\infty$$ – $$\infty$$, 0 0 , $$\infty$$ 0 , 1 $$\infty$$ часто удается свести к неопределенностям вида $$\frac<0><0>$$ или $$\frac<\infty><\infty>$$ с помощью различных тождественных преобразований. После этого можно применять правило Лопиталя.

    Рассмотрим некоторые из возможных преобразований указанных неопределенностей.

    1. $$\infty — \infty$$ : пусть $$f(x)\to \infty$$, $$g(x)\to \infty$$ ,
    тогда данная неопределённость приводится к типу $$\frac<0><0>$$ следующим преобразованием: $$f(x) — g(x) = \frac<<\frac<1> — \frac<1>>><\frac<1>>$$,

    2. $$\infty \cdot 0$$: пусть $$f(x)\to \infty$$, $$g(x)\to 0$$,
    тогда данная неопределенность приводится к типу: $$ \frac<0><0>$$ или $$\frac<\infty><\infty>$$ с помощью преобразований: $$f(x) \cdot g(x) = \frac<\frac<1>> = \frac<\frac<1>>$$.

    Остальные неопределенности приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования: $$log_f(x)^ = g(x) \cdot log_f(x)$$.

    Если после применения правила Лопиталя неопределенность типа : $$\frac<0><0>$$ или $$\frac<\infty><\infty>$$ осталась, нужно применить его повторно.
    Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату.
    Правило Лопиталя применимо и в случае, если $$x \to a$$.

    uztest.ru

    Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).

    Раскрытие неопределенности вида 0/0

    Будем говорить, что отношение двух функций f(x)/g(x) представляет собой при x → a неопределенность вида 0/0, если

    Раскрыть эту неопределенность — это значит вычислить предел (при условии, что этот предел существует).

    Теорема [первое правило Лопиталя]. Пусть две функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и, кроме того, производная g′(x) не обращается в нуль всюду в указанной выше окрестности точки a. Пусть, далее,

    Замечание 1. Правило Лопиталя «действует» не всегда, т.е. предел отношения функций может существовать и в случае, когда предела отношения производных не существует.

    Например, при a=0, , g(x)=sin x существует предел

    в то время как предел

    не существует (в силу того, что не существует предел , а предел существует и равен нулю).

    Замечание 2. Если производные f′(x) и g′(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f(x) и g(x), то правило Лопиталя можно применять повторно, т.е. предел отношения первых производных функций f(x) и g(x) можно заменить пределом отношения вторых производных этих функций. Мы получим при этом, что

    Раскрытие неопределенности вида ∞/∞

    Будем говорить, что отношение двух определенных в окрестности точки a функций f(x) и g(x) представляет собой при x → a неопределенность вида ∞/∞, если

    Для раскрытия этой неопределенности, т.е. для вычисления предела

    , справедливо утверждение, полностью аналогичное первому правилу Лопиталя.

    Теорема [второе правило Лопиталя]. Пусть две функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и, кроме того, производная g′(x) не обращается в нуль всюду в указанной выше окрестности точки a. Пусть, далее,

    Тогда если существует (конечный или бесконечный) предел

    то существует и предел

    Раскрытие неопределенностей других видов

    Кроме изученных выше неопределенностей видов 0/0 и ∞/∞, часто встречаются неопределенности следующих видов: 0·∞, ∞-∞, 1 ∞ , 0 ∞ , ∞ 0 .

    Все эти неопределенности сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований. Покажем это, например, по отношению к последним трем из указанных выше неопределенностей. Каждая из этих неопределенностей имеет вид

    где при x → a функция f(x) стремится соответственно к 1, 0 или , a g(x) стремится соответственно к или 0. Данное выражение сначала логарифмируют (считая, что f(x)>0)

    а потом находят предел его логарифма.

    Заметим, что в любом из трех рассматриваемых случаев этот логарифм представляет собой при x → a неопределенность вида 0·∞. Значит, достаточно научиться сводить неопределенность такого вида к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞. Покажем, как это делается. Итак, пусть

    Перепишем наше выражение в виде

    Очевидно, последнее выражение представляет собой при x → a неопределенность вида 0/0.

    Аналогично раскрывается неопределенность вида ∞-∞, т.е. находится предел

    при условии, что . С помощью преобразования

    эта неопределенность сводиться к неопределенности вида 0/0. \underline <Пример.>Вычислить . Пусть . Тогда,

    Пользуясь правилом Лопиталя, получим

    Отсюда ясно, что .

    physmat.ru

    15.01. Правило Лопиталя — Бернулли

    При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби /(х)/(р(х), числитель и знаменатель которой при х —> а стремятся к нулю или к бесконечности. Нахождение таких пределов называют раскрытием неопределенностей соответствующего виаа. Основой его является правило Лопиталя — Бернулли, выражаемое следующей теоремой.

    Теорема 15.1. Если функции /(х) и а а ф’ (х)

    Замечание 1. Теорема верна и в том случае, когда функции /(х) и Ф (х) не определены в точке х = а, но Нт /(*)*= 0, Иш ф (х) = 0.

    Замечание 2. Теорема верна и в случае а = т. е. когда 1нп /(*) = 0, Нш ф (х) = 0.

    Замечание 3. Если /'(а) = 0, ф'(о) = 0, функции /'(х), ф'(я) дифференцируемы в окрестности точки х = а и существует предел отношения /»(¦*)/ф»(*) при х —» а, то

    Другими словами, правило Лопиталя — Бернулли при вьшолнении соответствующих условий можно применять несколько раз.

    Правило Лопиталя — Бернулли применимо и при раскрытии неопределенно-

    „ •» 0 стей вида —, поскольку ее можно привести к неопределенности вида —, пред-

    Ставив рассматриваемую дробь так:

    С помощью тождественных преобразований к основному виду — или — можно све-

    Сти неопределенности других видов, таких, как 0 ¦ о х-»о х

    Преобразования /(х)-ф(х) = [——-?—I:-5- эта неопределенность

    Сводится к неопределенности вида —.

    Раскрыть неопределенность вица 1

    — значит найти предел Иш (/(-х))ф(х)

    При условии, что Нт Дх) = 1, Нт ф (х) =

    Раскрыть неопределенности вида 0°, оо° — значит найти предел Нт (/(х))ф(г) при соответствующем условии: 1) Нт/(х) = 0, Нтф(х) = 0;

    2) Нт Дх) = »°, Нтф(х) = 0.

    Неопределенности 1”, 0°, °о° раскрываются способом, в котором используется тождество (Дх)Г = е9М’п/(г).

    При раскрытии этих неопределенностей данное выражение предварительно логарифмируют и находят предел его логарифма.

    Правило, выражаемое теоремой 15.1, сформулировано швейцарским математиком И. Бернулли (1667 — 1748) и’ опубликовано в 1696 г. в первом печатном учебнике анализа бесконечно малых, написанном французским математиком Г. Лопиталем (1661 — 1704).

    Пример 15.1. Найти Нт-.

    При х = 0 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопределенность вида Чтобы раскрыть ее, применяем правило




    Для раскрытия этой неопределенности видаПравило Лопиталя — Бернулли необходимо применить дважды:

    Пример 15.3. Найти Здесь имеем неопределенность видаПреобразуем данную разность

    ПриВ правой части этого равенства имеем неопределенность вида

    Применяя дважды правило Лопиталя — Бернулли, находим:

    Пример 15.4. Найти, где— натуральное число.

    Применяя правило Лопиталя — Бернулли п раз, получаем

    Следовательно, при неограниченном возрастании аргумента степенная функция растет медленнее показательной функции.

    Пример 15.5.Найти

    ПриПолучаем неопределенность вида. ОбозначимИ

    Прологарифмируем это равенство по основанию

    В правой части этого равенства приИмеем неопределенность вида

    matica.org.ua

    Смотрите еще:

    • Чистка иск Химчистка подушек Пухово-перьевой, шерстяной или синтетический наполнитель подушки требует регулярной чистки. Помимо снижения потребительских свойств, здесь накапливается большое количество пылевых клещей, […]
    • Военный билет при судимости Берут ли в армию с судимостью в 2018 году? Многих ребят интересует, берут ли судимых граждан в армию. Сразу стоит сказать, что это в ответе на этот вопрос есть множество юридических нюансов. Не разобравшись в […]
    • Образец претензия на диван Самозащита потребителя претензия мебель образец В претензии Вам необходимо указать, кому Вы ее предъявляете, представиться и своими словами описать суть дела и свои требования. Обратите внимание в […]
  • Закладка Постоянная ссылка.

    Обсуждение закрыто.