Правило умножения плюса на минус

Правило умножения плюса на минус

Правильно ли мы понимаем умножение?

«- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
— Осталась ваша буква И».

(Из к/ф «Отроки во Вселенной»)

Почему при умножении числа на ноль получается ноль?

Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?

Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.

Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!

Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой.

Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.

7 — множимое. 3 — множитель. 21- произведение.

По официальной формулировке:

  • умножить число на другое число — значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.
  • По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.

    7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

    Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.

    Исправим формулировку умножения

    Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.

    Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.

    7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

    Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.

    7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

    А если мы будем умножать на три минус семь?

    — 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

    Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.

    — 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

    Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.

    • Умножение — это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.
    • По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются «правила знаков» при умножении, когда множитель отрицательный.

      7 * (-3) — должно быть после нуля три знака «минус» = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = — 21

      — 7 * (-3) — снова должно быть после нуля три знака «минус» =

      = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

      Умножение на ноль

      7 * 0 = 0 + . нет операций прибавления к нулю.

      Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.

      Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух «правил знаков» (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.

    • Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
    • Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
    • Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).
    • Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.

      Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.

      -7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

      +7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

      -7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

      Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков «+» или «-» в правой части равенства.

      Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.

      2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)

      2^-2 = 1 : 2 : 2 = 1/4

      2^-3 = 1 : 2 : 2 : 2 = 1/8

      Математики согласны, что возведение числа в положительную степень — это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень — это многократное деление единицы.

      Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.

      2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

      2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)

      2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

      Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет «правила знаков», умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.

      Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.

      15 : 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)

      Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.

      Разделить число 15 на 5 — значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.

      Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков «минус». Их три.

      15 : 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.

      15 — 5 — 5 — 5 = 0 (деление 15 : 5)

      0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)

      Деление с остатком.

      17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

      17 : 5 = 3 и 2 остаток

      Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?

      2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

      Смотрим разницу формулировок на калькуляторе

      Существующая формулировка умножения (три слагаемых).

      10 + 10 + 10 = 30

      Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).

      0 + 10 = = = 30

      (Три раза нажимаем «равняется».)

      10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

      Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.

      Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!

      (-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

      Что значит знак минус у тройки? Может так?

      (-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

      Опс. Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).

      С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.

      0 — (-10) = = = +30

      (-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

      Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.

      Правила знаков при сложении и вычитании

      Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.

      Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.

      Что такое «минус», «отрицательный»?

      Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов. Даже синус по своей природе может быть только положительным.

      Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает «минус»?

      Минус означает противоположное направление. Левый — правый. Верх — низ. По часовой стрелке — против часовой стрелки. Вперед — назад. Холодно — горячо. Легкий — тяжелый. Медленно — быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.

      В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.

      «Минус бесконечности» в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие «минус».

      Итак, «минус» обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.

      Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.

      Для понимания правил, нам нужно разделить:

    • первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
    • второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
    • направление операций сложения и вычитания.
    • Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.

      Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак «плюс»). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак «минус»).

      Пример. Схема в нижнем правом углу.

      Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус — знак числа на вертикальной оси.

      Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.

      дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.

      Поэтому два рядом стоящих знака «минус» можно заменить одним знаком «плюс».

      Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти. Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.

      Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.

      1. Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
      2. Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
      3. На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.

      Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании, полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках — это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.

      Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.

      Правила 1 и 3 (по визуализации) — дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила.

      Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

      Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

      Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.

      Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:

      — два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);

      — два правила, по которым можно не писать знак «плюс» у положительного числа.

      Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.

      Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.

      1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.

      2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.

      3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.

      Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.

      Дата размещения материала на сайте: 10 июля 2015 года

      mnemonikon.ru

      Правила знаков

      Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.

      Рассмотрим подробней основные правила знаков.

      Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».

      Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».

      Вычитание и сложение.

      Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.

      mateshka.ru

      Урок по теме «Умножение положительных и отрицательных чисел»

      — закрепить умение умножать натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби;

      — научить умножать положительные и отрицательные числа;

      — воспитывать умение работать в группах,

      — развивать любознательность, интерес к математике; умение мыслить, высказываться по теме.

      Оборудование: модели термометров и дома, карточки для устного счета и проверочной работы, плакат с правилами знаков при умножении.

      Мотивация

      Учитель. Сегодня мы начинаем изучать новую тему. Мы как бы будем строить новый дом. Скажите, от чего зависит прочность дома?

      Сейчас проверим, каков наш фундамент, то есть прочность наших знаний. Я вам не назвала тему урока. Она закодирована, то есть спрятана в задании для устного счета. Будьте внимательны и наблюдательны. Перед вами карточки с примерами. Решив их и поставив в соответствие ответу букву, вы узнаете название темы урока.

      Учитель. Итак, это слово «умножение». Но мы уже с умножением знакомы. Зачем нам еще его изучать? Недавно вы познакомились с какими числами?

      [С положительными и отрицательными.]

      А умеем ли мы их умножать? Поэтому темой урока будет «Умножение положительных и отрицательных чисел».

      Вы быстро и правильно решили примеры. Хороший фундамент заложили. (Учитель на модели дома «закладывает» фундамент.) Думаю, что дом будет прочным.

      Изучение новой темы

      Учитель. Теперь будем возводить стены. Они соединяют пол и крышу, то есть старую тему с новой. Сейчас вы будете работать группами. Каждая группа получит задачу, которую нужно решить всем вместе, а затем ее решение объяснить классу.

      1-я группа

      Температура воздуха понижается каждый час на 2°. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру он покажет через 3 часа?

      Решение группы. Так как сейчас температура 0 и за каждый час температура понижается на 2°, то очевидно, что через 3 часа температура будет –6°. Обозначим понижение температуры –2°, а время +3 часа. Тогда можно считать, что (–2)·3 = –6.

      Учитель. А что будет, если я множители переставлю, то есть 3·(–2)?

      Учащиеся. Ответ тот же: –6, так как используется переместительное свойство умножения.

      Температура воздуха понижается каждый час на 2°. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру воздуха показывал термометр 3 часа назад?

      Решение группы. Так как температура за каждый час понижалась на 2°, а сейчас 0, то очевидно, что 3 часа назад она была +6°. Обозначим понижение температуры –2°, а прошедшее время –3 часа. Тогда можно считать, что (–2)·(–3) = 6.

      Учитель. Вы пока не умеете умножать положительные и отрицательные числа. Но решали задачи, где нужно было умножать такие числа. Попробуйте сами вывести правила умножения положительного и отрицательного чисел, двух отрицательных чисел. (Ученики пытаются вывести правило.) Хорошо. Сейчас откроем учебники и прочитаем правила умножения положительных и отрицательных чисел. Сравните свое правило с тем, что записано в учебнике.

      Правило 1. Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить модули этих чисел и поставить перед полученным произведением знак «–».

      Правило 2. Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками, надо умножить модули этих чисел и поставить перед полученным произведением знак «+».

      Учитель. Как вы видели при строительстве фундамента, у вас с умножением натуральных и дробных чисел нет проблем. Проблемы могут возникнуть при умножении положительных и отрицательных чисел. Почему?

      Запомните! При умножении положительных и отрицательных чисел:

      1) определяют знак;
      2) находят произведение модулей.

      Учитель. Для знаков при умножении есть свои мнемонические правила, которые запомнить очень просто. Коротко их формулируют так:

      «+»·«+» = «+» — плюс на плюс дает плюс;
      «–»·«+» = «–» — минус на плюс дает минус;
      «+»·«–» = «–» — плюс на минус дает минус;
      «–»·«–» = «+» — минус на минус дает плюс.

      (В тетрадях ученики записывают правило знаков.)

      Учитель. Если себя и своих друзей считать положительными, а наших врагов отрицательными, то можно сказать так:

      Друг моего друга — мой друг.
      Враг моего друга — мой враг.
      Друг моего врага — мой враг.
      Враг моего врага — мой друг.

      Первичное осмысление и применение изученного

      На доске примеры для устного решения. Ученики проговаривают правило:

      Учитель. Все понятно? Нет вопросов? Таким образом, стены построены. (Учитель ставит стены.) Теперь что строим?

      (К доске вызывается четверо учеников.)

      Учитель. Крыша готова?

      (Учитель ставит крышу на модель домика.)

      Ученики выполняют работу в один вариант.

      После выполнения работы меняются тетрадями со своим соседом. Учитель сообщает верные ответы, а ученики выставляют отметки друг другу.

      Итог урока. Рефлексия

      Учитель. Какую цель мы ставили в начале урока? Вы научились умножать положительные и отрицательные числа? (Повторяют правила.) Как вы увидели на этом уроке, каждая новая тема — это дом, который нужно строить капитально, на годы. Иначе все ваши постройки через непродолжительное время рухнут. Поэтому всё зависит от вас. Я желаю, ребята, чтобы вам всегда улыбалась удача, успехов в усвоении знаний.

      mat.1september.ru

      Чтобы подсчитать, чему равно трижды пять, надо сложить три слагаемых, каждое из которых равно пяти:

      С некоторой натяжкой то же объяснение годится и для произведения 1-5, если считать, что «сумма» из одного-единственного

      слагаемого равна этому слагаемому. Но произведение 0 • 5 или (-3) • 5 так не объяснишь: что означает сумма из нуля или из минус трех слагаемых?

      Можно, однако, переставить сомножители

      Если мы хотим, чтобы произведение не изменялось при перестановке сомножителей — как это было для положительных чисел — то тем самым должны считать, что

      Теперь перейдем к произведению (-3) • (-5). Чему оно равно: —15 или +15? Оба варианта имеют резон. С одной стороны, минус в одном сомножителе уже делает произведение отрицательным — тем более оно должно быть отрицательным, если отрицательны оба сомножителя. С другой стороны, в табл. 7 уже есть два минуса, но только один плюс, и «по справедливости» (-3)-(-5) должно быть равно +15. Так что же предпочесть?

      Вас, конечно, такими разговорами не запутаешь: из школьного курса математики Вы твердо усвоили, что минус на минус дает плюс. Но представьте себе, что Ваш младший брат или сестра спрашивает Вас: а почему? Что это — каприз учительницы, указание высшего начальства или теорема, которую можно доказать?

      Обычно правило умножения отрицательных чисел поясняют на примерах вроде представленного в табл. 8.

      Можно объяснять и иначе. Напишем подряд числа

      Теперь напишем те же числа, умноженные на 3:

      Легко заметить, что каждое число больше предыдущего на 3. Теперь напишем те же числа в обратном порядке (начав, например, с 5 и 15):

      и продолжим дальше:

      При этом под числом —5 оказалось число —15, так что 3 • (-5) = -15: плюс на минус дает минус.

      Теперь повторим ту же процедуру, умножая числа 1,2,3,4,5 . на —3 (мы уже знаем, что плюс на минус дает минус):

      Каждое следующее число нижнего ряда меньше предыдущего на 3. Запишем числа в обратном порядке

      Под числом —5 оказалось 15, так что (-3) • (-5) = 15.

      Возможно, эти объяснения и удовлетворили бы Вашего младшего брата или сестру. Но Вы вправе спросить, как же обстоят дела на самом деле и можно ли доказать, что (-3) • (-5) = 15?

      Ответ здесь таков: можно доказать, что (-3) • (-5) должно равняться 15, если только мы хотим, чтобы обычные свойства сложения, вычитания и умножения оставались верными для всех чисел, включая отрицательные. Схема этого доказательства такова.

      Докажем сначала, что 3 • (-5) = -15. Что такое —15? Это число, противоположное 15, т. е. число, которое в сумме с 15 дает 0. Так что нам надо доказать, что

      (Вынося 3 за скобку, мы воспользовались законом дистрибутивности ab + ас = а(b + с) при — ведь мы предполагаем, что он остается верным для всех чисел, включая отрицательные.) Итак, (Дотошный читатель спросит нас, почему . Честно признаемся: доказательство этого факта — как и вообще обсуждение того, что такое ноль — мы пропускаем.)

      Докажем теперь, что (-3) • (-5) = 15. Для этого запишем

      и умножим обе части равенства на —5:

      Раскроем скобки в левой части:

      т. е. (-3) • (-5) + (-15) = 0. Таким образом, число противоположно числу —15, т. е. равно 15. (В таком рассуждении также есть пробелы: следовало бы доказать, что и что существует только одно число, противоположное числу —15.)

      stu.alnam.ru

      Почему минус на минус дает плюс?

      «Враг моего врага — мой друг».

      Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

      Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, . Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

      Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

      В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

      Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2 . Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3 . При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

      Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x , (–15) = (–5)x . Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5) . Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3 .

      Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

      Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

      Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции. Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

      В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

      Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

      Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

      • сложение элементов кольца подчиняется переместительному ( A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному ( A + (B + C) = (A + B) + C ) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A , и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A) ), что A + (–A) = 0 ;
      • умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C ;
      • сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C .
      • Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

        Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B) , а во-вторых (–(–A)) = A . Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

        Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C . Рассмотрим сумму A + B + C . Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C , а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C . Значит, B = C .

        Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A) , поэтому они должны быть равны.

        Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B , то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B) .

        Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B . То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

        А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

        elementy.ru

        Смотрите еще:

        • Устав и гражданство Устав и гражданство Как истукан, немой народ Под игом дремлет в тайном страхе: Над ним бичей кровавй род И мысль и взор казнит на плахе, И вера, щит царей стальной, Узда для черни суеверной, Перед помазанной […]
        • Ветхое жильё переселение воронеж Ветхое жильё переселение воронеж Расселение ветхого жилья в Воронеже:как реализовать, чтобы город выиграл? Вице-мэр Воронежа по градостроительству Владимир Астанин приводит цифры: 200 га в Воронеже […]
        • Форма для ликвидации юридического лица Форма Р15001. Уведомление о ликвидации юридического лица Р15001 — основной документ при ликвидации фирмы. Корректное оформление этого уведомления сделает трудоемкий процесс более быстрым и […]
    Закладка Постоянная ссылка.

    Обсуждение закрыто.