Правило значение алгебраического выражения

Науколандия

Статьи по естественным наукам и математике

Что такое числовое и алгебраическое выражение?

Числовое выражение — это любая запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий и записанная по известным правилам, вследствие чего имеющая определенный смысл. Например, числовыми выражениями являются такие записи: 4 + 5; -1,05 × 22,5 — 34. С другой стороны, запись × 16 — × 0,5 не является числовой, так как, хотя и состоит из чисел и знаков арифметических операций, записана не по правилам составления числовых выражений.

Если в числовом выражении встречаются буквы вместо чисел (всех или только некоторых), то это выражение является уже алгебраическим.

Смысл использования букв заключается примерно в следующем. Вместо букв могут быть подставлены разные числа, а значит выражение может иметь различные значения. Алгебра как наука изучает принципы упрощения выражений, поиска и использования различных правил, законов, формул. Алгебра изучает наиболее рациональные способы выполнения вычислений, а как раз для этого нужны обобщения, то есть использование переменных (букв) вместо конкретных чисел.

К алгебраическим фактам можно отнести законы сложения и умножения, понятия отрицательного числа, обыкновенной и десятичной дробей и правила арифметических операций с ними, свойства обыкновенных дробей. Алгебра призвана разобраться во всем этом многообразии фактов, научить их использовать, видеть применимость законов в конкретных числовых и алгебраических выражениях.

Когда числовое выражение вычисляется, то в результате получается его значение. Значение же алгебраического выражение может быть вычислено только, если вместо букв будут подставлены определенные числовые значения. Например, выражение a ÷ b при a = 3 и b = 5 имеет значение 3 ÷ 5 или 0,6. Однако алгебраическое выражение может быть таким, что при некоторых значениях переменных (букв) может вовсе не иметь смыла. Для того же примера ( a ÷ b ) выражение не имеет смысла при b = 0, так как на ноль делить нельзя.

Поэтому говорят о допустимых и недопустимых значениях переменных для того или иного алгебраического выражения.

scienceland.info

Алгебраические выражения

Содержание

  1. Определение понятия
  2. Значение выражения
  3. Тождественные выражения
  4. Решение задач
  5. Что мы узнали?
  • Тест по теме
  • Определение понятия

    Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:

    Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной.

    Значение выражения

    Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.

    Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).

    Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.

  • 5-3=2.
  • 8*3=24.
  • 14*2=28.
  • 24-28=-4.
  • Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.

    Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

    Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1. Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5. Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.

    Тождественные выражения

    Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными.
    Пример тождественных выражений:
    4(а+с) и 4а+4с.
    Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.

    Пример тождественного преобразования.
    4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

    Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.

    Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.

    Решение задач

    Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
    Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?

    Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.

    Теперь решим полученное уравнение.

    Петя загадал число 12.

    Что мы узнали?

    Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.

    obrazovaka.ru

    6.4.1. Алгебраическое выражение

    I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

    Примеры алгебраических выражений:

    2m -n; 3·(2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

    Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

    II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

    Примеры. Найти значение выражения:

    1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

    2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

    1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

    — 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

    2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

    |-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

    III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

    Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

    Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

    В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

    В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

    В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

    В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
    IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

    Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

    Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

    Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

    a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

    1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

    Решение. Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

    (a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
    (а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

    1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

    2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

    3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

    б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

    4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

    Решение. Применим законы (свойства) сложения:

    a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
    (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

    4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

    5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

    6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

    в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

    7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 ·· (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

    Решение. Применим законы (свойства) умножения:

    a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
    (a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

    7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

    8 ) -3,5 ·· (-1) = 7у.

    9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.

    Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

    Примеры. Упростите, используя сокращение дробей.

    Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n. Получаем:

    Алгебраические выражения применяют для составления формул.

    Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.

    www.mathematics-repetition.com

    Правило значение алгебраического выражения

    Числовые и алгебраические выражения

    В младших классах вы учились проводить вычисления с целыми и дробными числами, решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной плоскостью. Все это составляло содержание одного школьного предмета «Математика». В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т.д. У каждой дисциплины — свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности.

    Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, четче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача — помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача — не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая трудности.

    На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения.

    Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 57 — числовое выражение, тогда как 3 + : — не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита); тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, алгоритмы, формулы, теоремы.

    Пример 1. Упростить числовое выражение:

    Решение. Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для этого придется использовать принятые в математике соглашения о порядке действий. Порядок действий в данном примере будет таким:

    1) найдем значение А выражения в первых скобках:
    А = 2,73 + 4,81 + 3,27 — 2,81;

    2) найдем значение В выражения во вторых скобках:

    3) разделим А на Б — тогда будем знать, какое число С содержится в числителе (т. е. над горизонтальной чертой);

    4) найдем значение D знаменателя (т. е. выражения, содержащегося под горизонтальной чертой):
    D = 25 — 37- 0,4;

    5) разделим С на D — это и будет искомый результат. Итак, план вычислений есть (а наличие плана — половина
    успеха!), приступим к его реализации.

    1) Найдем А = 2,73 + 4,81 + 3,27 — 2,81. Конечно, можно считать подряд или, как говорится, «в к лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить
    3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так:

    (2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

    А теперь еще раз вместе проанализируем, какие математические факты нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причем не просто вспомнить, но и использовать).

    1. Порядок арифметических действий.

    2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.

    4. Сочетательный закон сложения:
    a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

    5. Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = а(bс).

    6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицательного числа.

    7. Арифметические операции с десятичными дробями.

    8. Арифметические операции с обыкновенными дробями.

    10. Правила действий с положительными и отрицательными числами. Все это вы знаете, но ведь все это — алгебраические факты. Таким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось в младших классах. Основная трудность, как видно уже из примера 1, заключается в том, что таких фактов довольно много, причем их надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нужное время и в нужном месте». Вот этому и будем учиться.

    Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения (т.е. можно менять значения букв), эти буквы называют переменными.

    б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно находим:

    А на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и в других аналогичных случаях)? Это значит, что при : заданное алгебраическое выражение не имеет смысла.

    Используется такая терминология: если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называют допустимыми; если же при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения переменных называют недопустимыми.

    Так, в примере 2 значения a = 1 и b = 2, а = 3,7 и b = -1,7 — допустимые, тогда как значения
    недопустимые (более точно: первые две пары значений — допустимые, а третья пара значений — недопустимая).

    Вообще, в примере 2 недопустимыми будут такие значения переменных а, b, при которых либо а + b = 0, либо а — b = 0. Например, a = 7, b = — 7 или a = 28,3, b = 28,3 — недопустимые пары значений; в первом случае a + b = 0, а во втором случае a — b = 0. В обоих случаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается в нуль, а на нуль, повторим еще раз, делить нельзя. Теперь, наверное, вы и сами сможете придумать как допустимые пары значений для переменных а, b, так и недопустимые пары значений этих переменных в примере 2. Попробуйте!

    Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

    А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

    Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

    Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

    edufuture.biz

    Совет 1: Как найти значение выражения

  • Как найти значение выражения
  • Как найти наибольшее значение выражения
  • Как найти значение аргумента при заданном значении функции
  • найдите наименьшее значение выражения
  • Найди значения выражений при с 14
  • Совет 2: Как упростить выражение в математике

    • упрощение выражений со степенями
    • Совет 3: Как найти значение тригонометрических функции

      Совет 4: Как найти значение выражений

    • — учебник;
    • — черновик;
    • — ручка.
    • Совет 5: Что такое числовые выражения

      Отличительной особенностью выражения является наличие математических действий. Оно обозначаются определенными знаками (умножения, деления, вычитания или сложения). Последовательность выполнения математических действий при необходимости корректируется скобками. Выполнить математические действия – значит найти значение выражения.

      Что не является выражением

      Не всякую математическую запись можно отнести к числу выражений.

      Равенства не являются выражениями. Присутствуют при этом в равенстве математические действия или нет, не имеет значения. Например, a=5 – это равенство, а не выражение, но и 8+6*2=20 тоже нельзя считать выражением, хотя в нем и присутствуют умножение и сложение. Этот пример тоже принадлежит к категории равенств.

      Понятия выражения и равенства не являются взаимоисключающими, первое входят в состав второго. Знак равенства соединяет два выражения:
      5+7=24:2

      Можно это равенство упростить:
      5+7=12

      Выражение всегда предполагает, что представленные в нем математические действия могут быть выполнены. 9+:-7 – это не выражение, хотя здесь есть знаки математических действий, ведь выполнить эти действия невозможно.

      Существуют и такие математические примеры, которые формально являются выражениями, но не имеют смысла. Пример такого выражения:
      46:(5-2-3)

      Число 46 необходимо разделить на результат действий в скобках, а он равен нулю. На нуль же делить нельзя, такое действие в математике считается запретным.

      Числовые и алгебраические выражения

      Существует два вида математических выражений.

      Если выражение содержит только числа и знаки математических действий, такое выражение называется числовым. Если же в выражении наряду с числами присутствуют переменные, обозначаемые буквами, или чисел нет вообще, выражение состоит только из переменных и знаков математических действий, оно называется алгебраическим.

      Принципиальное отличие числового значения от алгебраического состоит в том, что у числового выражения значение только одно. Например, значение числового выражения 56–2*3 всегда будет равно 50, ничего изменить нельзя. У алгебраического же выражения значений может быть много, ведь вместо буквы можно подставить любое число. Так, если в выражении b–7 вместо b подставить 9, значение выражения будет равно 2, а если 200 – оно будет составлять 193.

      www.kakprosto.ru

      Смотрите еще:

    Закладка Постоянная ссылка.

    Обсуждение закрыто.