Пределы функции не используя правило лопиталя

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков:

Вычислить предел по правилу Лопиталя

Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:

В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения .

Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =)

Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби:

Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию:

После дифференцирования настоятельно рекомендуюизбавляться от многоэтажности дробии проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, слишком уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь.

И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённостьне устранена.

Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.

На днях мне попалось любопытное задание:

Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа.

Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….

В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .

Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урокаМетоды решения пределов. Давайте для проформы ещё один:

На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:

Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.

Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:

После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз:

Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам:

Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.

Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность».

Для устранения неопределённости используем основное логарифмическое тождество: . В данном случае :

На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, «сносим» синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всего, к верхнему этажу).

Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость , к которой применимо правило Лопиталя:

Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно:

В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость :

Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно:

Полное решение и ответ в конце урока.

Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы:

Вычислить с помощью правила Лопиталя

В заключение хочу успокоить гринписовцев – ни один воробей от оружия серьёзно не пострадал, пределы – птицы юркие, да и ядра формы обтекаемой. Вспоминаем обычное требование: «…не пользуясь правилом Лопиталя». С беспощадной действительностью соприкоснёмся в статье Сложные пределы.

Пример 14
Используем основное логарифмическое тождество и преобразование:

Вычислим предел показателя:

Пример 15
Используем основное логарифмическое тождество:

studopedia.ru

Пределы функции не используя правило лопиталя

Версия системы:
7.47 (16.04.2018)

Общие новости:
13.04.2018, 10:33

Последний вопрос:
13.07.2018, 19:52

Последний ответ:
13.07.2018, 17:32

Последняя рассылка:
13.07.2018, 22:45

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Найти предел функции, не используя правило Лопиталя.

——
Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения) :

Состояние: Консультация закрыта

По-моему, задание можно выполнить следующим образом. Имеем Примем Тогда

0

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

ID: 400938

Как в конце единицу получили?

Гордиенко Андрей Владимирович
Модератор

ID: 17387

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

rfpro.ru

Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя

Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.

Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.

Предел функции в точке — правило Лопиталя

Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Точка в которой необходимо посчитать предел

Правило Лопиталя

Если выполняются следующие условия:

  • пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
    или ;
  • функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
  • производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
  • и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):
  • Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
    ,

    И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):

    В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:

    + — сложение
    — вычитание
    * — умножение
    / — деление
    ^ — возведение в степень

    и следующих функций:

  • sqrt — квадратный корень
  • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
  • exp — e в указанной степени
  • lb — логарифм по основанию 2
  • lg — логарифм по основанию 10
  • ln — натуральный логарифм (по основанию e)
  • logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
  • sin — синус
  • cos — косинус
  • tg — тангенс
  • ctg — котангенс
  • sec — секанс
  • cosec — косеканс
  • arcsin — арксинус
  • arccos — арккосинус
  • arctg — арктангенс
  • arcctg — арккотангенс
  • arcsec — арксеканс
  • arccosec — арккосеканс
  • versin — версинус
  • vercos — коверсинус
  • haversin — гаверсинус
  • exsec — экссеканс
  • excsc — экскосеканс
  • sh — гиперболический синус
  • ch — гиперболический косинус
  • th — гиперболический тангенс
  • cth — гиперболический котангенс
  • sech — гиперболический секанс
  • csch — гиперболический косеканс
  • abs — абсолютное значение (модуль)
  • sgn — сигнум (знак)

planetcalc.ru

Предел функции, правило Лопиталя

Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределов при получении неопределенностей вида » open=» 0 0 и » open=» ∞ ∞ .

Имеются неопределенности вида » open=» 0 · ∞ и » open=» ∞ — ∞ .

Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.

Правило Лопиталя

Когда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = » open=» 0 0 или » open=» ∞ ∞ и функции f ( x ) , g ( x ) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ‘ ( x ) g ‘ ( x ) .

Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) .

Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = sin 2 ( 3 · 0 ) 0 · cos ( 0 ) = » open=» 0 0 .

Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) ‘ x · cos ( x ) ‘ = lim x → 0 2 sin ( 3 x ) ( sin ( 3 x ) ) ‘ x ‘ · cos ( x ) + x · ( cos ( x ) ) ‘ = = lim x → 0 6 sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) cos ( x ) — x · sin ( x ) = 6 sin ( 3 · 0 ) cos ( 3 · 0 ) cos ( 0 ) — 0 · sin ( 0 ) = 0 1 = 0

Ответ: lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = 0 .

Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln ( x ) x .

Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

lim x → ∞ ln ( x ) x = ln ( ∞ ) ∞ = » open=» ∞ ∞

Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

lim x → ∞ ln ( x ) x = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ ln ( x ) ‘ x ‘ = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

Ответ: lim x → ∞ ln ( x ) x = 0

Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) )

Производим подстановку значения x . получаем, что

lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = ( 0 + 0 ) 4 · ln ( 0 + 0 ) = » open=» 0 · ( — ∞ )

Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = ln ( 0 + 0 ) ( 0 + 0 ) — 4 = » open=» — ∞ + ∞

Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = » open=» — ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 ( ln ( x ) ) ‘ ( x — 4 ) ‘ = lim x → 0 + 0 1 x — 4 — 5 = — 1 4 lim x → 0 + 0 1 x — 4 = — 1 4 · 1 ( 0 + 0 ) — 4 = = — 1 4 · ( 0 + 0 ) 4 = 0

Ответ: lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = 0

Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 .

После подстановки получаем

lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞

Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞ = lim x → 0 cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) — 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 ( x ) — sin 2 ( x ) x 2 sin 2 ( x ) = lim x → 0 x cos x — sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 ( x ) = = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = 2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = = 2 0 · cos ( 0 ) — sin ( 0 ) 0 · sin 2 ( 0 ) = » open=» 0 0

Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 ( x cos x — sin x ) ‘ ( x sin 2 ( x ) ) ‘ = = 2 lim x → 0 cos x — x sin x — cos x sin 2 ( x ) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0

Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 — x ‘ sin ( x ) + 2 x cos x ‘ = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x — 2 x sin x = — 2 · 1 3 · cos ( 0 ) — 2 · 0 · sin ( 0 ) = — 2 3

Ответ: lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = — 2 3

www.zaochnik.com

Вычислить пределы применяя правило лопиталя

Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :

Правила Лопиталя

Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется:

Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности, не случайно в сборниках задач, на контрольных работах, зачётах часто встречается устойчивый штамп: «вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя». Выделенное жирным шрифтом требование можно с чистой совестью приписать и к любому пределу уроков Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы. Методы решения пределов, Замечательные эквивалентности, где встречается неопределённость «ноль на ноль» либо «бесконечность на бесконечность». Даже если задание сформулировано коротко – «вычислить пределы», то негласно подразумевается, что вы будете пользоваться всем, чем угодно, но только не правилами Лопиталя.

Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:

Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками.

6) Применим последнее правило сведения к второй замечательной границы

Раскрытие неопределенностей сводится предварительно рассмотренным выше неопределенностей. Если , а при , то применяем преобразование

бесконечность или ноль на ноль является применение правила Лопиталя: предел отношения двух

В случае трех последних неопределенностей нужно применять преобразования

5) Есть неопределенность вида бесконечность на бесконечность .

бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,

3) Учитывая неопределенность применяем предыдущее правило

Вычисление пределов по правилу Лопиталя

Эффективным способом вычисления пределов функций, имеющих особенности типа бесконечность на

Решение. 1) Подстановкой устанавливаем что имеем неопределенность вида ноль на ноль . Для избавления от

Опять получили неопределенность вида и повторно применяем правило Лопиталя

2) Как и в предыдущем примере мы имеем неопределенность . По правилу Лопиталя находим

Применение правила Лопиталя показало все возможности при раскрытии неопределенностей.

Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке

В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что

Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная не существует.

Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

Вывод: показательная функция (y=a n ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=x n ).

В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1 Posted in Полезные статьи

o-v-m.ru

Смотрите еще:

  • Магадан нотариусы Нотариусы Магадан Ниже представлен список нотариусов в выбранной категории. Чтобы посмотреть подробную информацию по конкретному нотариусу, кликните по ФИО нотариуса. Нотариус Билык Оксана […]
  • Нотариусы в г Салават Нотариусы Салават Ниже представлен список нотариусов в выбранной категории. Чтобы посмотреть подробную информацию по конкретному нотариусу, кликните по ФИО нотариуса. Телефон: +7 (34763) 3-47-67 Адрес: […]
  • Прокурору города тулы Прокуратуры г.Тулы и районов г.Тулы Прокуратура г.Тулы Анциферов Владислав Юрьевич Прокурор г.Тулы Адрес: 300041, г. Тула, ул. Мира, д. 54 Телефон/факс: +7 (4872) 33-81-12 E-mail: […]
Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.