Пример показательного закона

Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

  • равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
  • показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
  • нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
  • Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.

    Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»

    Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.

    Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X= <время ожидания пассажира>равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.

    2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х1 −λa − e −λb .
    P(1 −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

    3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле: P(a −λa − e −λb при a=2, b=∞.
    Р(Х≥2) = P(1 −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ — 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

    4. Находим для показательного распределения:

    • математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
    • дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
    • среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

    Другие статьи по данной теме:

    • назад:Непрерывные случайные величины. Примеры решения задач
    • далее:Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
    • Список использованных источников

      1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. — «Высшая школа», 2004;
      2. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
      3. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
      4. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ — Екатеринбург, 2008.

      www.ekonomika-st.ru

      Теоретический материал по модулям «Теория вероятности и математическая статистика»

      1.12.6. Экспоненциальное (показательное) распределение

      Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону спараметром . Если ее плотность распределения вероятностей задается формулой:

      (1.12.12)

      Функция распределения показательного закона:

      (1.12.13)

      Типичные примеры, где реализуется экспоненциальное распределение – теория обслуживания, при этом X — например, время ожидания при техническом обслуживании, и теория надежности, здесь X — например, срок службы радиоэлектронной аппаратуры.

      Показательное распределение тесно связано с простейшим (пуассоновским) потоком событий (см. п. 1.12.2): интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока:

      (t > 0).

      Основные характеристики показательного распределения:

      (1.12.14)

      ПРИМЕР 7. Время безотказной работы ЭВМ – случайная величина T , имеющая показательное распределение с параметром l = 5 (физический смысл величины l — среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев ЭВМ для ремонта). Известно, что ЭВМ уже проработала без отказов время t. Найти при этих условиях плотность и функцию распределения времени, которое проработает ЭВМ после момента t до ближайшего отказа.

      Решение. Так как простейший поток отказов не имеет последствия, вероятность появления хотя бы одного отказа на участке от t до t + t не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента t. Следовательно, подставив
      l = 5 в соотношение (1.12.12) и в (1.12.13), получим:

      .

      .

      Графики плотности и функции полученного показательного распределения изображены на рис. 1.12.6.

      edu.tltsu.ru

      Экспоненциальное распределение и его свойства

      Экспоненциальное распределение играет важную роль в задачах телекоммуникации, так как позволяет моделировать интервалы времени между наступлением событий.

      Из экспоненциальных величин строятся другие важные величины, например, случайные величины, имеющие распределение Эрланга.

      Мы говорим, что случайная величина имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если

      (0)

      Пусть – время ожидания события, тогда из формулы (0) следует, что вероятность того, что это событие наступит раньше x равна . Этот удобный формализм позволяет описывать моменты возникновения случайных событий.

      Параметр λ оценивается на основе реальных данных.

      Плотность экспоненциального распределения имеет вид

      , (1)

      где λ>0 —положительная постоянная, называемая параметром экспоненциального распределения.

      Заметьте, экспоненциальное распределение сосредоточено на положительной полуоси.

      Экспоненциальная случайная величина принимает положительные значения.

      Среднее значение равно

      Дисперсия равна

      Из формулы (0) следует:

      Иными словами, вероятность того, что следующее событие наступит через время больше , равна

      Основные свойства экспоненциального распределения

      Свойство отсутствия последействия:

      Пусть — экспоненциальная случайная величина с плотностью вида (1).

      Тогда (2)

      при всех x≥0 и t≥0.

      Равенство (2) означает следующее.

      Пусть некоторая элементарная операция (например, телефонный разговор) имеет случайную длительность с экспоненциальным распределением.

      Пусть, далее, известно, что до момента данная операция продолжалась в течение t единиц времени.

      Тогда остаток от момента до момента окончания операции имеет экспоненциальное распределение с параметром λ независимо от t.

      Это важнейшее свойство экспоненциального распределения называется отсутствием последействия.

      Отсутствие последействия называется также Марковским свойством.

      Именно в силу этого свойства экспоненциальные модели имеют довольно простое аналитическое решение.

      При малых положительных h: (3)

      Действительно, по формуле Тейлора имеем:

      .

      Равенство (3) можно объяснить так.

      Пусть в момент длится некоторая операция, имеющая случайную длительность с плотностью задаваемой формулой (1).

      Тогда вероятность окончания данной операции в данном интервале ( t0, t0+h) равна .

      Пусть в момент длятся n операций.

      Рассмотрим случайные величины , где — время от момента до момента окончания i-ой фазы из этих операций, 1≤i≤n.

      Если величины независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметрами , 1≤i≤n, то:

      а) имеет экспоненциальное распределение с параметром ;

      б) если известно, что , то не зависимо от t≥0

      , (4)

      Доказательство

      — свойство а) доказано.

      В то же время (7)

      Подставим выражения (6) и (7) в равенство (5), получим формулу (4).

      Таким образом, утверждение б) также доказано.

      Пусть выполнены те же условия, что и в формулировке предыдущего свойства.

      Обозначим через число операций, которые закончатся в интервале ( t0, t0+h).

      , (8)

      , (9)

      , (10)

      , (11)

      Доказательство. Событие ( ) эквивалентно событию , откуда

      ,

      т.е. справедливость формулы (8) доказана.

      Событие ( ) противоположно событию , откуда

      — получена формула (10).

      Далее можно записать , откуда

      — формула (9) доказана.

      Наконец, ,

      откуда .

      Подставляя в это равенство соотношения (9) и (10), найдем

      .

      Справедливость формулы (11) так же установлена.

      При доказательстве формул дважды использована формула

      .

      Разумеется, следует проверить несовместимость событий .

      В рассмотренных случаях она непосредственно очевидна.

      Пусть выполнены условия предыдущего пункта и в момент окончания i-ой операции начинается одна или несколько новых операций, длительности которых независимы между собой, не зависят от ( ) и имеют экспоненциальное распределение.

      Тогда если обозначить через общее число операций (длившихся в момент t0 и начавшихся в интервале ( t0, t0+h)), которые закончились до момента t0+h, то справедливы формулы (8) — (11).

      Для доказательства, в дополнении к предыдущему, остаточно заметить, что событие ( ) сводится к выполнению одного или конечного числа неравенств вида , где , — независимые экспоненциально распределенные величины.

      Имеем ,

      где — параметры распределения , . Отсюда же следует что .

      Пусть операция начинается в момент t0 и состоит в выполнении некоторой случайной работы , причем темп выполнения работы в момент t равен ά(t), t≥t0 , где ά(t) — интегрируемая неотрицательная функция.

      Обозначим через время от момента t0 до момента окончания операции.

      Тогда если случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром λ, то

      (12)

      За время от t0 до t0+t может быть выполнено , ед. работы.

      Значит, операции закончится за время, меньше t, при условии что .

      .

      В заключение сделаем замечание и дадим ряд задач для лучшего понимания свойств экспоненциальных величин.

      Замечание

      В случае дискретного времени аналогом экспоненциальной величины является геометрическая величина (случайная величина, имеющая геометрическое распределение).

      Задача 1. Найти распределение максимума двух независимых экспоненциальных величин.

      Задача 2. Найти распределение минимума двух независимых экспоненциальных величин.

      Задача 3. Найти распределение суммы k независимых экспоненциальных величин.

      statistica.ru

      Показательный (экспоненциальный) закон распределения

      Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

      (12.1)

      Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

      (12.2)

      (12.3)

      Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ( )

      Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ( )

      Числовые характеристики показательного распределения

      Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

      (12.4)

      Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

      (12.5)

      Т.к. , то остается вычислить :

      (12.6)

      Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

      (12.7)

      Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

      Пример 1.Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

      Решение. а) Плотность распределения имеет вид:

      б) Соответствующая интегральная функция равна:

      Пример 2.Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

      Решение. Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

      Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

      . (12.8)

      Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

      . (12.9)

      Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

      Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

      . (12.10)

      Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

      . (12.11)

      Пример 3.Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

      Решение. В нашем примере , тогда воспользуемся (12.11):

      .

      Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

      Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени (при заданной интенсивности отказов).

      Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

      безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

      безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

      Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

      (12.12)

      Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

      (12.13)

      Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

      Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».

      Пространство элементарных событий. Случайные события.

      Современное понятие вероятности

      Классическая вероятностная схема

      Закон сложения вероятностей

      Теорема умножения вероятностей

      Формула полной вероятности

      Теорема гипотез. Формула Байеса.

      Повторение испытаний. Схема Бернулли.

      Локальная теорема Муавра-Лапласа

      Интегральная теорема Муавра-Лапласа

      Теорема Пуассона (Закон редких событий)

      Непрерывная случайная величина и плотность распределения

      Основные свойства плотности распределения

      Числовые характеристики одномерной случайной величины

      Свойства математического ожидания

      Моменты случайной величины

      Асимметрии и эксцесс

      Многомерные случайные величины

      Свойства двумерной функции распределения

      Плотность вероятности двумерной случайной величины

      Условная плотность распределения

      Числовые характеристики системы случайных величин

      Свойства коэффициента корреляции

      Нормальный (гауссов) закон распределения

      Вероятность попадания на интервал

      Свойства нормальной функции распределения

      Распределение («хи–квадрат»)

      Показательный (экспоненциальный) закон распределения

      Числовые характеристики показательного распределения

      Дата добавления: 2015-06-10 ; просмотров: 3602 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

      helpiks.org

      Смотрите еще:

      • Работа семейная пара с проживанием сочи Работа: семейная пара в Сочи, 7 вакансий Семейная пара по уходу за домом Уборка и поддержание в чистоте дома и прилегающей территории,подача напитков,встреча гостей в аэропорту на автомобиле,стирка и глажка […]
      • Решение суда взыскание неустойки по осаго Решение суда взыскание неустойки по осаго Автострахование Жилищные споры Земельные споры Административное право Участие в долевом строительстве Семейные споры Гражданское право, ГК РФ […]
      • Претензия самолетик Игровой набор "Самолет" ТМ "Свинка Пеппа", с фигуркой Пеппы Минимальная сумма заказа на доставку курьером или до пункта выдачи заказов – 500 р. Сроки и стоимость доставки: Срок сборки заказа складом и […]
    Закладка Постоянная ссылка.

    Обсуждение закрыто.