Система случайных величин и закон её распределения

Система случайных величин и закон её распределения

В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими комплекс или систему. Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой — и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величии. Аналогично точка разрыва дистанционного снаряда определяется комплексом трех случайных величин. При стрельбе группой из выстрелов совокупность точек попадания на плоскости может рассматриваться как комплекс или система случайных величин: абсцисс и ординат точек попадания. Осколок, образовавшийся при разрыве снаряда, характеризуется рядом случайных величин: весом, размерами, начальной скоростью, направлением полета и т. д. Условимся систему нескольких случайных величин обозначать .

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами, отдельных величин, ее составляющих: помимо этого, они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинам.

При рассмотрении вопросов, связанных с системами случайных величин, удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин можно изображать, случайной точкой на плоскости с координатами и (рис. 8.1.1). Аналогично система трех случайных величин может быть изображена случайной точкой в трехмерном пространстве. Часто бывает удобно говорить о системе случайных величин как о «случайной точке в пространстве измерений». Несмотря на то, что последняя интерпретация не обладает непосредственной наглядностью, пользование ею дает некоторый выигрыш в смысле общности терминологии и упрощения записей.

Часто вместо образа случайной точки для геометрической интерпретации системы случайных величин пользуются образом случайного вектора. Систему двух случайных величин при этом рассматривают как случайный вектор на плоскости , составляющие которого по осям представляют собой случайные величины (рис. 8.1.2). Система трех случайных величин изображается случайным вектором в трехмерном пространстве, система случайных величин – случайным вектором в пространстве измерений. При этом теория систем случайных чисел рассматривается как теория случайных векторов.

В данном курсе мы будем в зависимости от удобства наложения пользоваться как одной, так и другой интерпретацией.

Занимаясь системами случайных величин, мы будем рассматривать как полные, исчерпывающие вероятностные характеристики — законы распределения, так и неполные — числовые характеристики.

Изложение начнем с наиболее простого случая системы двух случайных величин.

sernam.ru

Системы двух случайных величин

8. Системы двух случайных величин

8.1. Закон распределения двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел и их вероятностей .

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел x , y вероятность того, что и

Свойства функции распределения:

· Значение функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

· — неубывающая функция по каждому аргументу.

· Имеют место предельные соотношения:

· При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х; При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y .

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от функции распределения

.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле

Свойства двумерной плотности распределения:

· Двумерная плотность вероятности неотрицательна

· Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности распределения равен 1:

Плотности вероятностей составляющих двумерной случайной величины

8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины

Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин

Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Зависимые и независимые случайные величины:

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х и Y были независимые, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих: .

Корреляционный момент случайных величин Х и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

Для непрерывных случайных величин

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен 0.

Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

Коэффициент корреляции лежит в пределах от -1 до 1.

primer.by

TeorVer / Лекция 9. Закон распределения системы двух случайных величин

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие системы случайных величин и закона распределения систем двух случайных величин; определить условия зависимости и независимости случайных величин, сформулировать условный закон распределения и правило умножения плотностей.

Понятие о системе случайных величин

При теоретико-множественной трактовке любая случайная величина X есть функция элементарного события, входящего в пространство эле-

т. е. каждому элементарному событию

ставится в соответствие

некоторое действительное число x

значений случайной величины X .

Теперь перейдем к рассмотрению системы случайных величин – двух и более, например координаты падения снаряда X и Y , набор оценок X 1 , X 2 , , X n , выставленных в приложении к диплому.

Будем обозначать систему нескольких случайных величин X , Y , , W как ( X , Y , , W ) . Эта система есть функция элементарного события

( X , Y , , W )( ) .

Таким образом, каждому элементарному событию ставится в соответствие несколько действительных чисел – значения, принятые случайными величинами X , Y , , W в результате опыта.

Пример . Пространство элементарных событий состоит из 28 элементов – 28 костей домино: < 00 , 01 , , 1 1 , 1 2 , , 56 , 66 > . Если слу-

чайная величина X – сумма очков, а Y – их произведение, то совокупность значений этих случайных величин есть функция элементарного со-

бытия : так, при выпадении кости 34 x 7 , y 12 .

Случайные величины, входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными. Систему двух непрерывных случайных величин ( X , Y ) можно изобразить случайной точкой на плоскости с коорди-

натами X и Y (см. рис. 5.1). Систему трех случайных величин ( X , Y , Z )

– случайной точкой в 3-мерном пространстве с координатами X , Y , Z . И то и другое можно изобразить в виде вектора (см. рис. 5.2). Использование геометрической интерпретации удобно для системы n случайных величин ( X 1 , X 2 , , X n ) как вектора в n -мерном пространстве

X ( X 1 , X 2 , , X n ) .

Свойства системы случайных величин определяются как свойствами отдельных величин, входящих в систему, так и зависимостями между случайными величинами.

Полной характеристикой системы случайных величин является закон распределения, который может быть представлен в виде функции распределения, плотности распределения, таблицы вероятностей отдельных значений случайного вектора и т. д.

studfiles.net

Особенности описания системы случайных величин

В практических применениях теории вероятностей к исследованию и обеспечению безопасности сложных технических систем приходиться сталкиваться с задачами, в которых искомый результат описывается не одной случайной величиной, а их большим числом, образующим единую систему. Например, неконтролируемое распространение аварийно высвободившегося вредного вещества может характеризоваться определенным уровнем концентрации в различных зонах заполненного им воздушного пространства или зараженной земной поверхности. Поэтому при рассмотрении подобных явлений удобно пользоваться их геометрической интерпретацией в виде системы учитываемых случайных величин, представляя комплекс из двух таких величин случайной точкой на плоскости, а трех – случайным вектором в трехмерном пространстве.

Как и для описания одной случайной величины, их система также может характеризоваться соответствующей функцией или плотностью распределения. Так, для задания функции F(x, у) распределения системы двух случайных величин X, Y применяется вероятность совместного выполнения двух неравенств:

(2.10)

Рис. 2.5. Графическая интерпретация функции F(x, у)

Руководствуясь геометрическим представлением, нетрудно показать, что приведенная функция есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (х,у) в бесконечный квадрат, имеющий координаты вершины (х,у) и располагающийся левее и ниже этой точки, что и показано на рис. 2.5, а.

В аналогичной интерпретации функцию F1 (х) распределения одной случайной величины X можно уподобить вероятности попадания в полуплоскость, расположенную левее абсциссы х (рис. 2.5, б), а функцию F2(y) – такой же вероятности, но уже применительно к попаданию в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой у (рис. 2.5, в).

Подобно приведенным выше сведениям о функции распределения одной случайной величины рассматриваемая здесь F(x,y) также обладает рядом специфических свойств:

а) данная функция является неубывающей по отношению к своим аргументам:

• при ,

• при ;

б) при принятии аргументами значения -∞ она становится равной нулю:

в) при принятии одним из аргументов значения +∞ функция распределения двух аргументов вырождается уже в функцию одного (другого) аргумента:

г) когда оба аргумента этой функции принимают предельное значение, равное +∞, то ее величина становится равной единице:

Аналогичным способом можно задавать и интерпретировать плотность f(х,у) распределения системы непрерывных случайных величин, равную вероятности попадания некоторой точки в прямоугольник RΔ со сторонами Δх и Δу. По определению, такая функция является дифференциальным законом распределения, и ее значение может быть выражено через малые приращения аргументов в виде следующего соотношения:

деление правой части которого на площадь прямоугольника RΔ а затем переход полученного при этом частного к пределу при Δх→0 и Δу → 0 позволяет представить рассматриваемую плотность в виде смешанной частной производной второго порядка от функции F(x,y), если она дифференцируема:

(2.11)

Что касается графической интерпретации законов распределения системы двух случайных величин, то ее примеры продемонстрированы на рис. 2.6.

В частности, в его левой (а) части показан фрагмент функции F(x, у) распределения применительно к вероятности Р(х, у) попадания случайной точки в пределы заданной там области R ее значений; тогда как в правой (б) – то же самое, но уже с помощью плотности f(x,у) вероятности, где такая же (одинаковая) вероятность представлена в виде соответствующей объемной фигуры под фрагментом трехмерной палатки.

Рис. 2.6. Вероятности попадания в область R как площадь (а) и объем (б)

studme.org

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Транскрипт

1 Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ТА Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Учебное пособие РПК Политехник Волгоград 6

3 УДК 59 Рецензенты: канд техн наук доцент Просвиров А Э канд физ-мат наук профессор Меркулова Н И Матвеева ТА Светличная В Б Зотова С А Теория вероятностей: системы случайных величин и функции случайных величин: Учеб пособие / ВолгГТУ Волгоград 6 65 с ISBN Содержит необходимый теоретический материал и примеры иллюстрирующие основные понятия по учебной дисциплине Теория вероятностей Разработаны варианты контрольных (семестровых) работ Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших технических заведений всех специальностей и направлений Библиогр: 7 названий Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета ISBN Волгоградский государственный технический университет 6

4 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Двумерная случайная величина Пусть на вероятностном пространстве Ω заданы две случайные величины (СВ): ( ω ) ( ω) ω Ω Каждому элементарному событию ω ставится в соответствие упорядоченная пара значений ( СВ Упорядоченную пару ( ) двух одномерных случайных величин называют двумерной случайной величиной Двумерную СВ называют также случайным двумерным вектором случайной двумерной точкой системой двух случайных величин СВ называются компонентами случайного вектора ( ) Функцией распределения (интегральной функцией) ( СВ ( ) называется вероятность произведения событий ( ; a если > и и F ; < >и > ; < >то F ( P ( ) ;( );( );( ) ;( ) ; ( ) Таким образом функция распределения ( дискретных случайных величин имеет вид P F данной системы / 55 в) < >P < ( ) >+ P < ( ) >P < + >P < >; в) в области B <( : >; г) в <( : >> В случае а) имеем ( d ( + d В случае б) получаем ( d ( + d В случае в) имеем ( d ( + > d + d B > d d + + F P ; ; > ; D > > ( + ( + ( + ) F имеет вид

25 е) Найдем математическое ожидание СВ : [ ] f ( ) d M 7 + d Из условия равноправности вхождения переменных 4 в выражение плотности распределения f ( и области D получаем M [ ] Таким образом центром рассеивания является точка M M [ ] f ( d d d ( + d d + Корреляционный момент M [ ] + d K m m 44 Пример 4 Двумерная случайная величина ( ) распределена равномерно в области D где + 4 Определить D половина круга а) двумерную плотность вероятности ( f ; б) одномерные плотности вероятностей СВ ( ) f ( f ; в) зависимость или независимость случайных величин ; г) центр рассеивания; средние квадратические отклонения σ σ ; д) коэффициент корреляции r ; е) корреляционную матрицу а) Так как двумерная случайная величина ( ) распределена равномерно в области D то плотность распределения имеет вид 6 + 6

26 f ( SD ( ( D D В нашем случае S D R площадь области D следовательно плотность ( f ( ( D D б) Найдем одномерную плотность распределения СВ : f ( ) f ( d 4 4 d + d + d 4 и f ( ) при [ ] 4 4 при [ ] Одномерная плотность распределения СВ вычисляется по формуле f ( f ( d 4 d+ d + d 4 4 [ ] и f ( при [ ] Таким образом плотности компонент случайного вектора ( ) имеют вид 4 [ ] f( ) и ( [ ] в) Так как f ( f ( ) f ( ( D f 4 [ ] [ ] то СВ зависимы г) Найдем математические ожидания СВ : 5

27 4 t 4 M [ ] f ( ) d 4 d t dt dt d 8 t ; 4 t 4 M [ ] f( d 4 d t dt dt d Заметим что [ ] M можно было установить из геометрических соображений: так как область D и плотность ( f симметрично 8 относительно Таким образом точка M центр рассеивания Для нахождения средних квадратических отклонений предварительно вычислим соответствующие дисперсии: [ ] ( ) D M f ( ) d ( ) m 8 s t 4 d d cost dt ( s t ) cost cost dt s ( t ) ( t) 4 dt cos 64 s t 64 dt t 9 9 s t m ; 9 D f( d ( m ) 4 d d cost dt cos ( t) ( s t) cost cost dt s t dt t Следовательно средние квадратические отклонения равны s ( t) dt σ D и σ D 9 6

28 д) Коэффициент корреляции вычисляем по формуле Предварительно найдем M [ ] и K M [ ] m m r K σ σ M [ ] f ( d d dd D d 4 d 4 d d Получаем корреляционный момент [ ] то есть СВ являются некоррелированными K 8 M m m Установить что K можно было и из геометрических соображений: так как по определению K M [( m ) ( m )] область D и плотность ( прямых m m и поэтому если f симметрично хотя бы относительно одной из то K В данном случае область D и плотность ( относительно и [ ] M Таким образом коэффициент корреляции равен r K σ σ е) Корреляционная матрица имеет вид K D K [ ] K σ σ 64 9 [ ] D f симметрично Пример 5 Известна двумерная функция распределения случайного вектора ( ) F( arctg + arctg + Определить а) двумерную плотность распределения ( f ; ( R R

29 б) одномерные функции распределения ( ) F ( F ; в) зависимость или независимость случайных величин ; г) коррелированны ли СВ ; д) < >P > а) Двумерная плотность распределения вычисляется по формуле f ( F ( где ( ); ( ) arctg + ( + ) ( + ) ( + ) б) найдем одномерную функцию распределения СВ по формуле ( ) f( ) d d f ( F / d + d + d + d ( arctg d + arctg + ( ) arctg ( ) Аналогично находим одномерную интегральную функцию СВ : ( f( d d f ( F d arctg ( ) в) Так как выполняется необходимое и достаточное условие независимости двух СВ: ( F ( ) F ( ( R R независимы F то СВ г) Из независимости СВ следует и некоррелированность этих случайных величин то есть K д) P < и >( то система несовместна Значит ( ) + ) ( g Окончательно получаем ) ( или g б) + + ] [ ] [ ] [ M M M d d

46 Этот результат можно получить другим способом ( D + m ) + ( D + m ) M [ + ] M[ ] + M[ ] в) M [ ] M[ ] M[ ] + K + Так как независимые СВ то D[ ] D[ ] D[ ] + m D[ ] + m D[ ] Пусть Z По таблице частных случаев плотности z g ( z) f( ) f d z то есть g ( z) f d Подынтегральная функция отлична от z нуля если f что равносильно системе z Рассмотрим решение последней системы в различных случаях: а) если z или z то система несовместна; б) если Necessary cookie Accept

docplayer.ru

Смотрите еще:

  • Ток коллектора равен Ток коллектора равен Узнай об автоматике все - читай kip-help.narod.ru Хочешь узнать ответ Напиши в редакцию! Средний слой биполярного транзистора называется базой, а крайние - эмиттером и коллектором. При […]
  • Берут ли налог с пенсионеров за квартиру Какие налоги пенсионеры платить обязаны и от каких освобождены в 2017 году Из-за небольшого размера пенсий государство пошло навстречу пенсионерам по многим вопросам. Им положены субсидии на ЖКХ, льготы от […]
  • Наказание за банкротство Ответственность за преднамеренное банкротство может быть ужесточена Ответственность за преднамеренное банкротство, возможно, будет ужесточена. Соответствующий законопроект внесло в Госдуму Законодательное […]
Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.