Вычисление интеграла правила

Методы вычисления неопределенных интегралов

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная F(x) от функции f(x) – это такая функция, производная которой равна f(x) :
F′(x) = f(x), x ∈ Δ ,
где Δ – промежуток, на котором выполняется данное уравнение.

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом:
,
где C – постоянная, не зависящая от переменной x .

Основные формулы и методы интегрирования

Таблица интегралов

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов — путем преобразований, привести заданный интеграл к выражению, содержащему простейшие или табличные интегралы.
См. Таблица интегралов >>>

Правило интегрирования суммы (разности)

.
Здесь и далее u, v, w – функции от переменной x .

Вынесение постоянной за знак интеграла

Пусть c – постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла:

Замена переменной

Пусть x – функция от переменной t , x = φ(t) , тогда
.
Или наоборот, t = φ(x) ,
.

С помощью замены переменной можно не только вычислить простые интегралы, но и упростить вычисление более сложных.

Правило интегрирования по частям

Интегрирование дробей (рациональных функций)

Введем обозначение. Пусть Pk(x), Qm(x), Rn(x) обозначают многочлены степеней k, m, n , соответственно, относительно переменной x .

Рассмотрим интеграл, состоящий из дроби многочленов (так называемая рациональная функция):

Если k ≥ n , то сначала нужно выделить целую часть дроби:
.
Интеграл от многочлена Sk-n(x) вычисляется по таблице интегралов.

Остается интеграл:
, где m na (x-b) nb . (x 2 +ex+f) ne (x 2 +gx+k) ng . .
Здесь s – коэффициент при x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , . .

После этого разложить дробь на простейшие:

Интегрируя, получаем выражение, состоящее из более простых интегралов.
Интегралы вида

приводятся к табличным подстановкой t = x – a .

Преобразуем числитель:
.
Подставляя в подынтегральное выражение, получаем выражение, в которое входят два интеграла:
,
.
Первый, подстановкой t = x 2 + ex + f приводится к табличному.
Второй, по формуле приведения:

приводится к интегралу

Приведем его знаменатель к сумме квадратов:
.
Тогда подстановкой , интеграл

также приводится к табличному.

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть R( u1, u2, . , un ) означает рациональную функцию от переменных u1, u2, . , un . То есть
,
где P, Q – многочлены от переменных u1, u2, . , un .

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида:
,
где – рациональные числа, m1, n1, . ms, ns – целые числа.
Пусть n – общий знаменатель чисел r1, . rs .
Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:
.

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл:
,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p – целое. Подстановка x = t N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
2) Если – целое. Подстановка a x n + b = t M , где M – знаменатель числа p .
3) Если – целое. Подстановка a + b x – n = t M , где M – знаменатель числа p .

Если ни одно из трех чисел не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям m и p . Это можно сделать с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
,

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x1 – корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Также эти интегралы можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. В некоторых случаях этот способ вычисления интеграла является самым простым.
См. подробнее: Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

Интеграл вида:
,
где Pn(x) – многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты Ai .

Интеграл вида:
,
где Pm(x) – многочлен степени m .

Подстановкой t = ( x – α ) –1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.

Третий и наиболее сложный тип:
.

Здесь нужно сделать подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
;
,
которые интегрируются, соответственно подстановками:
z 2 = A1t 2 + C1 ;
y 2 = A1 + C1 t –2 .

Общий случай

Самый общий интеграл вида:
,
сводится к интегралам трех предыдущих типов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, преобразовать подынтегральную функцию к виду:
φ(x) + ψ(x)y ,
где φ(x), ψ(x) – рациональные функции от x , . Далее,
,
где ω(x) – рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную дробь ω(x) можно преобразовать выделением целой части и разложением на простейшие дроби. После этого получаются интегралы трех рассмотренных типов.
См. подробнее: Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена >>>

Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций

Заранее отметим, что те методы, которые применимы для тригонометрических функций, также применимы и для гиперболических функций. По этой причине мы не будем рассматривать интегрирование гиперболических функций отдельно.

Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы от тригонометрических функций вида:
,
где R – рациональная функция. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, которые следует преобразовать через синусы и косинусы.

При интегрировании таких функций полезно иметь в виду три правила:
1) если R( cos x, sin x ) умножается на –1 от перемены знака перед одной из величин cos x или sin x , то полезно другую из них обозначить через t .
2) если R( cos x, sin x ) не меняется от перемены знака одновременно перед cos x и sin x , то полезно положить tg x = t или ctg x = t .
3) подстановка во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы вида:

Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n – целые числа, то интегралы вычисляются интегрированием по частям. При этом получаются следующие формулы приведения:

Интегрирование по частям

Интегралы, содержащие логарифм или обратные тригонометрические функции:
ln φ , arcsin φ , arctg φ , и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x , нередко интегрируются по частям, полагая u = ln φ , u = arcsin φ , u = arctg φ , и т.д.
Подробнее: Примеры решения интегралов по частям, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции >>>

Применение формулы Эйлера

Если подынтегральное выражение линейно относительно одной из функций
cos ax или sin ax , то удобно применить формулу Эйлера:
e iax = cos ax + i sin ax (где i 2 = – 1 ),
заменив эту функцию на e iax и выделив действительную (при замене cos ax ) или мнимую часть (при замене sin ax ) из полученного результата.

Таким способом удобно находить интегралы вида
, ,
где P(x) – многочлен от x .
См. подробнее: Интегрирование произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса >>>

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-09-2014

1cov-edu.ru

Неопределенный интеграл.
Подробные примеры решений

На данном уроке мы начнём изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. В этой статье я ограничусь минимумом теории, и сейчас наша задача – научиться решать интегралы.

Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того чтобы справиться с интегральным исчислением Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Поэтому, если материал запущен, то рекомендую сначала внимательно ознакомиться с уроками Как найти производную? и Производная сложной функции. Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков (лучше – сотня) самостоятельно найденных производных. По-крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций. Казалось бы, при чем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия, как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка (+ какого-никакого опыта) нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться.

В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных и Таблица интегралов. Справочные пособия можно открыть, закачать или распечатать на странице Математические формулы и таблицы.

В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится. Между прочим, это не шутка, мне довольно часто приходилось слышать от студентов мнение вроде «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам.

Коль скоро способов решения существует очень много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на мой взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья). Потом нужно детально проработать урок Метод замены в неопределенном интеграле. ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех моих статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует ознакомиться с методом интегрирования по частям, поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций, интегралов от дробей, интегралов от дробно-рациональных функций, интегралов от иррациональных функций (корней), но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.

В Рунете сейчас весьма распространены демотиваторы. В контексте изучения интегралов, наоборот, просто необходим МОТИВАТОР. Как в том анекдоте про Василия Ивановича, который и Петьку мотивировал, и Аньку мотивировал. Уважаемые лентяи, халявщики и другие нормальные студенты, обязательно прочитайте нижеследующее. Знания и навыки по неопределенному интегралу потребуются в дальнейшей учебе, в частности, при изучении определенного интеграла, несобственных интегралов, дифференциальных уравнений на 2 курсе. Необходимость взять интеграл возникает даже в теории вероятностей! Таким образом, без интегралов путь на летнюю сессию и 2 курс БУДЕТ РЕАЛЬНО ЗАКРЫТ. Я серьезно. Вывод таков. Чем больше интегралов различных типов вы прорешаете, тем легче будет дальнейшая жизнь. Да, это займет довольно много времени, да, порой, не хочется, да, иногда «да фиг с ним, с этим интегралом, авось не попадется». Но, воодушевлять и греть душу должна следующая мысль, ваши усилия окупятся сполна! Вы будете, как орехи щелкать дифференциальные уравнения и легко расправляться с интегралами, которые встретятся в других разделах высшей математики. Качественно разобравшись с неопределенным интегралом, ВЫ ФАКТИЧЕСКИ ОСВАИВАЕТЕ ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО РАЗДЕЛОВ ВЫШКИ.

И поэтому я просто не мог не создать интенсивный курс по технике интегрирования, который получился на удивление коротким – желающие могут воспользоваться pdf-книгой и подготовиться ОЧЕНЬ быстро. Но материалы сайта ни в коем случае не хуже!

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Нетрудно заметить, что любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

первообразная функция.

– множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Еще раз посмотрим на запись:

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части у нас превращаются в другие функции: .

Упростим наше определение.

Решить неопределенный интеграл – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? превратился в функцию .

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Пока можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

Вернемся к тому же табличному интегралу .

Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:

– исходная подынтегральная функция.

Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:

Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной,
с двух правил интегрирования, которые также называют свойствами линейности неопределенного интеграла:

, где – постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

– интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.

Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение: Удобнее переписать его на бумагу.

(1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала под каждым интегралом. Почему под каждым? – это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:

(2) Согласно правилу , выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом – это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде . Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.

! Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх. Например, – это готовый табличный интеграл, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: – тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу!

(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и .
Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции , она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл – частный случай этой же формулы: .
Константу достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).
(4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем – сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Знаете, очень хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.

Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал:

Кто с первого семестра понял, тот понял, но сейчас нам важны не теоретические тонкости, а важно то, что с этим дифференциалом дальше делать. Его необходимо раскрыть, и с формально-технической точки зрения – это почти то же самое, что найти производную. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель :

Получено исходное подынтегральное выражение, значит, интеграл найден правильно.

Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходится дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала до конца проверки. Хотя он корректнее или «солиднее» что ли.

На самом деле я вообще мог умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз.

Дифференциал раскрывается следующим образом:

1) значок убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель .

Например:

Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку, тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике является подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного , .

А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?

Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже.

(1) Используем старую-добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени.

(2) Вносим в скобку, избавляясь от произведения.

(4) Превращаем интегралы по табличной формуле .

(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе ! Не нужно представлять ее в виде !

Проверка:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении:

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как , и ни в какую не получается правильный ответ , то рекомендую обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу.

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно уже при начальном опыте решения интегралов данные свойства считают само собой разумеющимися и не расписывают подробно.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье Интегрирование некоторых дробей.

! Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле. Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов.

Очень хотелось включить еще несколько примеров в данный урок, но вот сижу сейчас, печатаю этот текст в Вёрде и замечаю, что статья уже выросла до приличных размеров.
А поэтому вводный курс интегралов для чайников подошел к концу.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения

Пример 6: Решение:

Я выполнил проверку, а Вы? 😉

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

mathprofi.ru

Смотрите еще:

Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.