Закон движения заряженных частиц

Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

Ниже рассмотрены движения частиц плазмы, хотя некоторые положения являются общими и для плазмы твёрдых тел (металлов, полупроводников). Различают следующие основные типы движения заряженных частиц (ДЗЧ): равноускоренное движение в постоянном электрическом поле, вращательно-поступательное (по спирали) в постоянном магнитном поле, дрейфовое движение из-за слабой неоднородности магнитного поля или под действием других сил, перпендикулярных магнитному полю. В ансамбле заряженных частиц (плазме) с неоднородной концентрацией возникает диффузия. В общем виде движение отдельной заряженной частицы описывается уравнением:

где r — радиус-вектор частицы, v — скорость, m -масса, p = mv — импульс, е — заряд, E и H — напряжённости электрического и магнитного полей соответственно. Правая часть (1) — выражение для Лоренца силы. Из (1) следует, что изменение кинетической энергии Eк = mс 2 со временем равняется работе, производимой электрич. полем:

Магн. поле работы не совершает, т.к. соответствующая ему сила перпендикулярна вектору скорости. В случае статич. полей из (2) следует интеграл энергии:

где U (r) — потенциал электрич. поля E = -nU. Для полей E и Н, произвольно меняющихся во времени и пространстве, уравнения (1) не интегрируемы в общем виде; лишь для простых типов полей они интегрируемы точно. Во многих практически важных случаях разработаны приближённые методы решения уравнений (1) с помощью ЭВМ. В постоянном электрическом поле в нерелятивистском случае (v 2 0)y 2 +const. Ось х выбрана вдоль Е.

В неоднородном электростатическом поле ДЗЧ имеет глубокую аналогию с распространением световых лучей в прозрачной преломляющей среде. Для заряда, движущегося в пространстве, в котором на некоторой границе имеется скачок потенциала U(x1 и U (x/a) = U2, из (3) следует (при E0 = 0, v/с к библиотеке к оглавлению FAQ по эфирной физике ТОЭЭ ТЭЦ ТПОИ ТИ

Мало ли что я обещал гоям?
Российскую пенсию будут получать только израильтяне!
Мой кошелёк — Минц всё равно уже вывез деньги ПФ за рубеж.

Владимир Филин: Патриоты призывают к протесту

bourabai.ru

Уравнение движения и закон движения заряженной частицы в однородном магнитном поле

Рис. 1. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.

Найдем уравнение движения частицы заряда q и массы m , которая движется в однородном магнитном поле напряженностью B . Пусть в начале движения вектор скорости частицы направлен параллельно оси y декартовой системы координат и лежит в плоскости xy , а вектор поля по оси z (см. рис.1), .

На частицу действует только сила Лоренца [1] (всеми другими силами пренебрегаем), которая согласно второму закону Ньютона определяет ее ускорение :

.

В проекциях на оси координат это уравнение записывается как

(1) ,

где (как мы увидим позже, это обозначение выбрано неспроста, ибо эта комбинация величин играет роль круговой частоты вращения частицы).

Последнее уравнение для az , очевидно, определяет равномерное и прямолинейное движение, для простоты можно положить vz =0, то частица не движется вдоль оси z .

Остается система из двух линейных дифференциальных уравнений для проекций скорости:

(2)

Его решение – закон движения. Для решения воспользуемся методикой, описанной в [2].

Введем матрицу A , содержащую коэффициенты перед vx , vy в правой части системы:

.

Общее решение системы (2) представляет собой сумму

, (3)

где — собственные вектора (от eigenvector – собственный вектор, англ ), матрицы A , соответствующие собственным значениям λi, а С i – некоторые постоянные.

Составим характеристическое уравнение для λ. Для этого нужно приравнять нулю определитель матрицы A , из которой вычтена матрица вида

Этот определитель имеет вид

.

Откуда получаем уравнение для λ вида . Оно легко решается, .

Теперь нужно найти собственные вектора матрицы A . Для этого нужно найти решение системы уравнений вида

,

где ( a , b ) – компоненты собственного вектора, а на место λ нужно подставить каждое из полученных решений.

Подставляем первое решение , получаем

, .

Определитель системы равен нулю, поэтому решение системы представляет собой бесконечное множество пар чисел a , b , связанных соотношением , которое следует из каждого из двух уравнений последней системы.

Можно выбрать одну пару, например, так:

.

Можно найти собственный вектор и для второго значения , но проще воспользоваться тем фактом, что полученный вектор будет комплексно сопряжен с первым. В этом случае пользуются следующей методикой. Подставим полученный собственный вектор в выражение (3) и получим частное решение уравнения (2).

Общее решение системы (2) выражается в этом случае в виде суммы частных решений с некоторыми коэффициентами

,

Таким образом, получаем, что

.

Остается найти значения коэффициентов C 1,2. Для этого воспользуемся начальными условиями

,

из которых получаем

.

Проанализируем решение. Во-первых, видно, что проекции скорости на оси x , y изменяются периодически с круговой частотой ω, во вторых, можно заметить, что , а это значит, что модуль вектора скорости не зависит от времени, иными словами, кинетическая энергия частицы сохраняется, что, в принципе, было ожидаемым результатом, поскольку магнитное поле является потенциальным.

Теперь, зная решение уравнений для скоростей, перейдем к решению уравнений для координат. Эта система записывается как.

(4).

Эти уравнения независимы друг от друга, поэтому их можно решать по отдельности.

Они являются уравнениями с разделяющимися переменными и легко интегрируются

после чего получаем решения – закон движения

.

Константы C 1,2 можно получить из начальных условий, но мы вместо задания начальных условий, выясним смысл констант C 1,2 и траекторию движения частицы.

Для этого заметим, что

или, в другой записи

(5).

Соотношение (5), как следует из аналитической геометрии [3], определяет окружность, центр которой расположен в точке ( C 1, C 2) плоскости xy . Радиус этой окружности равен . Как и в случае изменения проекций скоростей, координаты меняются периодически с круговой частотой ω. Поскольку под знаком синуса (или косинуса) стоит величина ωt, период этого колебания можно найти из соотношения ωT=2 π, значит .

Интересно заметить, что соотношение типа появляется и в других задачах, в которых уравнения Ньютона записываются в виде (2). Сюда относятся и движение планет вокруг Солнца под действием сил тяготения, и, скажем, круговое движение тела, привязанного за веревку.

Можно добавить в систему условие, при котором существует начальная проекция скорости vz 0 частицы вдоль оси z , но при этом вид третьего уравнения системы (1) не изменится, в систему (2) добавится уравнение . Решением будет , т.е. как будто частица движется вдоль оси z , не замечая силы Лоренца. Общее движение частицы в этом случае будет суммой вращательного движения в плоскости, параллельной xy и равномерного движения вдоль z , т.е. винтовая линия. Шаг h этой винтовой линии равен произведению периода кругового движения на скорость vz 0, т.е.

.

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля изд. 3, стр. 73 (пар. 22, «Движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях»), Государственное изд. физико-математической литературы, Москва 1960.

2. Филиппов А.Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, стр. 91-98 (пар. 14, «Линейные системы с постоянными коэффициентами»), изд. Интеграл-пресс, 1998.

3. Крутицкая Н.И., Тихонравов А.В., Шишкин А.А., Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями, стр. 80 (гл. IV , пар. 1, «Эллипс»), изд. МГУ, 1991.

www.alexeypetrov.narod.ru

Закон движения заряженных частиц

Это дифференциальное уравнение, описывающее колебания заряда конденсатора. Введем обозначения:

, (3.46)

Величину β также как и в случае механических колебаний называют коэффициентом затухания, а ω0собственной циклической частотой колебаний.

С введенными обозначениями уравнение (3.45) примет вид

(3.47)

Уравнение (3.47) полностью совпадает с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора с вязким трением (формула (4.19) из раздела «Физические основы механики»). Решение этого уравнения описывает затухающие колебания вида

q(t) = q0e -bt cos(wt + j) (3.48)

где q0 – начальный заряд конденсатора, ω = – циклическая частота колебаний, φ – начальная фаза колебаний. На рис. 3.17 показан вид функции q(t). Такой же вид имеет и зависимость напряжения на конденсаторе от времени, так как UC = q/C.

(от лат. decrementum — уменьшение, убыль) (логарифмический декремент затухания) — количественнаяхарактеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе; представляет собой натуральныйлогарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту жесторону. T. к. в линейной системе колеблющаяся величина изменяется по закону (где постоянная величина— коэф. затухания) и два последующих наиб. отклонения в одну сторону X1 и X2(условно наз. «амплитудами» колебаний) разделены промежутком времени (условно наз. «периодом» колебаний), то, а Д. з..

Так, напр., для механич. колебат. системы, состоящей из массы т, удерживаемой в положении равновесияпружиной с коэф. упругости k и испытывающей трение силой FT, пропорциональной скорости v(F Т =-bv, гдеb— коэф. пропорциональности), Д. з.

При малом затухании . Аналогично для электрич. контура, состоящего изиндуктивностиL, активного сопротивления R и ёмкости С, Д. з.

.

При малом затухании .

Для нелинейных систем закон затухания колебаний отличен от закона , т. е. отношение двухпоследующих «амплитуд» (и логарифм этого отношения) не остаётся постоянным; поэтому Д. з. не имееттакого определ. смысла, как для систем линейных.

Добро́тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний. Обозначается символом от англ. quality factor.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

19. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс.

Вынужденными электромагнитными колебаниями называют периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника. Внешним источником ЭДС в электрических цепях являются генераторы переменного тока, работающие на электростанциях.

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону: При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила (1) С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение (2) При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение (3) Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению (4) Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями. Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению (5) причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x0 если механические колебания равно F0/m, в случае электромагнитных колебаний — Um/L). Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х0e iωt : (6) Частное решение данного уравнения будем искать в виде Подставляя выражение для s и его производных ( и) в выражение (6), найдем (7) Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на (ω0 2 — ω 2 — 2iδω) Это комплексное число представим в экспоненциальной форме: где (8) (9) Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна (10) где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно (11) Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения (12) и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .

Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω0 2 = 1/(LC) и δ = R/(2L) : (13) Продифференцировав Q=Qmcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях: (14) где (15) Уравнение (14) может быть записано как где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13) (16) Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ < ПредыдущаяСтр 4 из 9 4 5 6 7 8 9

studfiles.net

Законы движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

Описание: При протекании тока в цепи накала в результате термоэлектронной эмиссии с катода в лампе образуются свободные электроны. Индукция магнитного поля соленоида связана с силой тока соотношением 8 где Nчисло витков lдлина соленоида. В результате расчетная формула для удельного заряда электрона принимает вид: 9 Теоретическая зависимость анодного тока от силы тока в соленоиде для идеального магнетрона приведена на.

Дата добавления: 2014-06-17

Размер файла: 90.35 KB

Работу скачали: 61 чел.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Лабораторная работа №2

По дисциплине: Физика

Выполнил : Козлов Д.М.

Новосибирск, 2014 г

1.Цель работы

Познакомиться с законами движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, определить удельный заряд электрона с помощью цилиндрического магнетрона.

2. Основные теоретические сведения

Магнетроном называется электровакуумное устройство, в котором движение электронов происходит во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. Магнетрон является источником электромагнитного излучения СВЧ диапазона.

В нашей работе магнетрон представляет собой радиолампу- диод прямого накала, электродами которой являются коаксиальные цилиндры. Радиолампа помещена во внешнее магнитное поле, создаваемое соленоидом с током (рис.1).

При этом силовые линии электрического поля имеют радиальное направление, а линии магнитной индукции совпадают с осью электродов (рис.2).

Движение электрона в электромагнитном поле подчиняется второму закону Ньютона:

где r — радиус- вектор, m- масса электрона, e- абсолютная величина заряда электрона, V — скорость электрона , E — вектор напряженности электрического поля, В — вектор индукции магнитного поля.

Траектория движения заряженной частицы в электромагнитном поле существенно зависит от величины удельного заряда — отношения заряда к массе частицы. Уравнение траектории можно получить из решения уравнения (1), но даже в случае цилиндрической симметрии это уравнение не имеет решения в аналитическом виде.

Рассмотрим на качественном уровне движение электрона в цилиндрическом магнетроне. Для упрощения предположим, что электроны вылетают из катода с нулевой начальной скоростью, их движение происходит в плоскости, перпендикулярной оси электродов, а радиус катода много меньше радиуса анода.

При протекании тока в цепи накала в результате термоэлектронной эмиссии с катода в лампе образуются свободные электроны. Эмиттированные катодом электроны под действием электрического поля движутся к аноду, и в анодной цепи возникает электрический ток. Постоянный ток в обмотке соленоида создает магнитное поле, искривляющее траекторию движения электронов.

Выясним характер движения электронов в магнетроне. В электрическом поле на электрон действует сила F = e E , вынуждающая его двигаться с ускорением в направлении, противоположном вектору Е . Эта сила совершает работу, которая идёт на изменение кинетической энергии электрона. Скорость электронов вблизи анода может быть найдена из закона сохранения энергии:

где U a — анодное напряжение лампы.

В магнитном поле сила действует на движущийся электрон

F=- e [VB] и направлена перпендикулярно скорости электрона. Эта сила не совершает механической работы над электроном, а только изменяет направление вектора скорости и вынуждает электрон двигаться с центростремительным ускорением по окружности. В нашей модели предполагается, что V ^ B . Применяя второй закон Ньютона, получим:

Отсюда выразим радиус окружности:

В магнетроне электрон движется в скрещенных электрическом и магнитном полях. В отсутствии магнитного поля траектории движения электронов приведены на рис. 3а. При наложении “слабого” магнитного поля траектории электронов искривляются, но все электроны долетают до анода, как показано на рис. 3б.

Увеличивая индукцию магнитного поля, можно получить ситуацию, когда электрон, двигаясь по криволинейной траектории, едва не косн.тся анода и возвратится на катод, как на рис 3в. Криволинейная траектория в этом случае напоминает окружность, радиус которой для электрона вблизи анода приблизительно равен половине радиуса анода

где значение скорости в соответствии с формулой (2) равно

Анодный ток при этом прекращается.

Таким образом, если известна индукция критического магнитного поля при определенном анодном напряжении, то из формул (5) и (6) можно рассчитать удельный заряд электрона

При дальнейшем увеличении магнитного поля электроны, двигаясь по криволинейным замкнутым траекториям, удаляются от катода на меньшие расстояния и не долетают до анода, как показано на рис. 3г.

Для определения удельного заряда электрона по формуле (7) нужно, задавая величину анодного напряжения, найти значение индукции критического магнитного поля, при котором анодный ток уменьшается до нуля. В данной работе измеряется ток соленоида. Индукция магнитного поля соленоида связана с силой тока соотношением

где N -число витков, l- длина соленоида. В результате расчетная формула для удельного заряда электрона принимает вид:

Теоретическая зависимость анодного тока от силы тока в соленоиде для идеального магнетрона приведена на рис.4 (штриховая линия). Здесь же сплошной линией изображена реальная зависимость. Пологий спад анодного тока обусловлен следующими причинами: влиянием краевых эффектов, неоднородностью магнитного поля, некоаксиальностью электродов, падением напряжения вдоль катода, разбросом по скоростям эмиттированных электронов и т.д. Разумно предположить, что критическое значение тока соответствует максимальной скорости изменения анодного тока.

Для нахождения этой величины нужно построить график зависимости производной анодного тока по току соленоида D I a /D I c от тока соленоида
I c

Максимум постороенной функции соответствует критической силе тока в соленоиде (рис.5).

3. Описание лабораторной установки

Установка состоит из магнетрона, представляющего собой соленоид с помещенной внутри радиолампой. Конструктивно анод лампы имеет форму цилиндра, вдоль оси которого расположена нить накала, являющаяся катодом.

Электрическая схема установки приведена на рис. 6.

Соленоид подключается к источнику постоянного напряжения , а ток соленоида фиксируется амперметром. Справа изображены источник напряжения и приборы, регистрирующие параметры анодной цепи.

1. Подайте на лампу анодное напряжение. Запишите его величину в лабораторный журнал. Запишите значение анодного тока.

2. Изменяя силу тока в соленоиде, снимите зависимость анодного тока от тока соленоида. Данные занесите в таблицу.

refleader.ru

Смотрите еще:

  • Материнский капитал на улучшение жилищных условий что входит Направляем материнский капитал на улучшение жилищных условий Анна Мазухина, Эксперт Службы Правового консалтинга компании "Гарант" Право на федеральный материнский капитал имеет любая женщина-россиянка, […]
  • Александр 2 мировой суд Судебная Реформа 1864 года Одновременно с земской реформой в 1864 г. была проведена судебная реформа. Ее разработали прогрессивные юристы в соответствии с достижениями науки и судебной практики передовых […]
  • Ндфл с подъемного пособия военнослужащим НачФин.info " rel="nofollow"> Печать E-mail Подробности Категория: Консультация военного юриста Опубликовано: 30 января 2017 Автор: SobKor Просмотров: 9523 Вопрос: Облагается ли налогом единовременное […]
Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.