Закон кирхгофа конденсатор

Электрические цепи с конденсаторами

В электрические цепи с конденсаторами входят источники электрической энергии и отдельные конденсаторы. Конденсатор представляет собой систему двух проводников любой формы, разделенных слоем диэлектрика. Присоединение зажимов конденсатора к источнику электрической энергии с постоянным напряжением U сопровождается накоплением на одной из его пластин заряда +Q, а на другой -Q.

Величина этих зарядов прямо пропорциональна напряжению U и определяется по формуле

где C – емкость конденсатора, измеряемая в фарадах (Ф).

Величина емкости конденсатора равна отношению заряда одной из его пластин к напряжению между ними, т. е. C=Q/U,

Емкость конденсатора зависит от формы пластин, их размеров, взаимного расположения, а также от диэлектрической проницаемости среды между пластинами.

Емкость плоского конденсатора, выраженная в микрофарадах, определяется по формуле

где ε0 – абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, εr – относительная диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, S – площадь пластины, м2, d – расстояние между пластинами, м.

Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума является постоянной величиной ε0=8,855∙10 -12 Ф⁄м.

Величина напряженности электрического поля E между пластинами плоского конденсатора, находящимися под напряжением U, определяется по формуле E=U/d .

В Международной системе единиц измерения (СИ) единицей измерения напряженности электрического поля является вольт на метр (В⁄м).

Рис. 1. Кулон-вольтные характеристики конденсатора: а – линейная, б – нелинейная

Если относительная диэлектрическая проницаемость среды, находящейся между пластинами конденсатора, не зависит от величины напряженности электрического поля, то емкость конденсатора не зависит от величины напряжения на его зажимах и кулон-вольтная характеристика Q=F(U) линейна (рис. 1, а).

Конденсаторы с диэлектриком из сегнетоэлектриков, у которых относительная диэлектрическая проницаемость зависит от напряженности электрического поля, имеют нелинейную кулон-вольтную характеристику (рис. 1, б).

У таких нелинейных конденсаторов, или варикондов, каждой точке кулон-вольтной характеристики, например точке А, соответствует статическая емкость Cст=Q/U=(mQ∙BA)/(mU∙OB)=mC∙tan⁡α и дифференциальная емкость Cдиф=dQ/dU=(mQ∙BA)/(mU∙O’B)=mC∙tan⁡β, где mC – коэффициент, зависящий от масштабов mQ и mU, принятых соответственно для зарядов и напряжений.

Каждый конденсатор характеризуется не только величиной емкости, но и величиной рабочего напряжения Uраб, которая принимается так, чтобы возникающая при этом напряженность электрического поля была меньше электрической прочности диэлектрика. Электрическая прочность диэлектрика определяется наименьшим значением напряженности, при которой начинается пробой диэлектрика, сопровождаемый его разрушением и потерей изоляционных свойств.

Диэлектрики характеризуются не только электрической прочностью, но и очень большим объемным сопротивлением ρV, составляющим примерно от 10 10 до 10 20 Ом•см, в то время как у металлов оно от 10 -6 до 10 -4 Ом•см.

Кроме того, для диэлектриков вводят еще понятие удельного поверхностного сопротивления ρS, характеризующего их противодействие току утечки по поверхности. У некоторых диэлектриков эта величина незначительна и поэтому они не пробиваются, а перекрываются электрическим разрядом по поверхности.

Для расчета величины напряжений на зажимах отдельных конденсаторов, входящих в многоконтурные электрические цепи, при заданных э.д.с. источников электрической энергии пользуются уравнениями, аналогичными уравнениям законов Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока.

Так, для любого узла многоконтурной электрической цепи с конденсаторами оправдывается закон сохранения количества электричества ∑Q=Q0, который устанавливает, что алгебраическая сумма зарядов на пластинах конденсаторов, присоединенных к одному узлу, равна алгебраической сумме зарядов, которые были до их соединения между собой. Это же уравнение при отсутствии предварительных зарядов на пластинах конденсаторов имеет вид ∑Q=0.

Для любого контура электрической цепи с конденсаторами справедливо равенство ∑E=∑Q/C, которое утверждает, что алгебраическая сумма э.д.с. в контуре равна алгебраической сумме напряжений на зажимах конденсаторов, входящих в данной контур.

Рис. 2. Многоконтурная электрическая цепь с конденсаторами

Так, в много контурной электрической цепи с двумя источниками электрической энергии и шестью конденсаторами при начальных нулевых зарядах и произвольно выбранных положительных направлениях напряжений U1, U2, U3, U4, U5, U6 (рис. 2) на основании закона сохранения количества электричества для трех независимых узлов 1, 2, 3 получаем три уравнения: Q1+Q6-Q5=0, -Q1-Q2-Q3=0, Q3-Q4+Q5=0.

Дополнительные уравнения к трем независимым контурам 1—2—4—1, 2—3—4—2, 1—4—3—1 при обходе их по направлению движения стрелки часов имеют вид E1=Q1/C1 +Q2/C2 -Q6/C6 , -E2=-Q3/C3 -Q4/C4 -Q2/C2 , 0= Q6/C6 +Q4/C4 +Q5/C5 .

Решение системы из шести линейных уравнений позволяет определить величину заряда каждого конденсатора Qi и найти напряжение на его зажимах Ui по формуле Ui=Qi/Ci .

Истинные направления напряжений Ui, численные значения которых получены со знаком минус, противоположны первоначально принятым при составлении уравнений.

При расчете многоконтурной электрической цепи с конденсаторами иногда полезно конденсаторы C12, C23, C31, соединенные треугольником, заменить конденсаторами C1, C2, C3, соединенными эквивалентной трехлучевой звездой.

В этом случае искомые емкости находят так: C1=C12+C31+(C12∙C31)/C23 , C2=C23+C12+(C23∙C12)/C31 , C3=C31+C23+(C31∙C23)/C12 .

При обратном преобразовании пользуются формулами: C12=(C1∙C2)/(C1+C2+C3 ), C23=(C2∙C3)/(C1+C2+C3 ), C31=(C3∙C1)/(C1+C2+C3 ).

Конденсаторы емкостью C1, C2, …, Cn, соединенные параллельно, можно заменить одним конденсатором емкостью

а при последовательном их соединении – конденсатором, емкость которого

Если конденсаторы, входящие в электрическую цепь, имеют диэлектрики с заметными электрическими проводимостями, то в такой цепи возникают небольшие токи, величины которых определяют обычными методами, принятыми при расчете электрических цепей постоянного тока, а напряжения на зажимах каждого конденсатора при установившемся режиме находят по формуле

где Ri – электрическое сопротивление диэлектрического слоя i-го конденсатора, Ii – ток этого же конденсатора.

electricalschool.info

Методы расчета цепей

Существует большое разнообразие цепей преобразующих ту или иную энергонесущую материю. Какова бы ни была энергонесущая материя (например, электрический ток), и в каком бы режиме ни функционировала преобразующая энергию цепь, существует ограниченный набор универсальных методов для их анализа и расчета. Цель расчета цепей состоит в уточнении величин токов и падений напряжения на элементах во всех режимах работы. Познакомимся с наиболее универсальными методами.

Каждое конкретное электрическое или электронное устройство описывается конкретной системой дифференциально-алгебраических уравнений. Сравнительный анализ большого количества математических описаний позволил выявить лишь три модели, которые признаны фундаментальными. Им соответствуют реально существующие, пассивные, преобразующие энергию элементы:

  • R — активное сопротивление (резистор)
  • L — реактивное сопротивление индуктивного характера (катушка)
  • C — реактивное сопротивление емкостного характера (конденсатор)
  • Преобразование электрической энергии R, L и C элементами описывается законом Ома. Форма записи закона Ома индивидуальна для каждого элемента:

    Закон Ома наглядно демонстрирует, как физические величины первого и второго рода (ток и напряжение) связаны свойством преобразующего энергию элемента, т.е. активным индуктивным или емкостным сопротивлением.

    Насколько бы сложной ни была энергопреобразующая электрическая цепь, и каким бы методом мы не пользовались для ее расчета — системы уравнений всегда составляются на основе этих формул. Существует большое количество чисто математических приемов, которые позволяют рассчитывать цепи (в том числе с L и C элементами) не прибегая к дифференциальному исчислению.

    Законы Кирхгофа

    Законы Кирхгофа являются вариантом формулировки постулатов о сохранении материи и энергетического потенциала для электрических энергопреобразующих цепей. Введем определения.

    Узел электрической цепи Место соединения трёх и более ветвей. В схемах электрических принципиальных обозначается точкой. Ветвь электрической цепи Участок электрической цепи, содержащий только последовательно включённые элементы. Контур электрической цепи Замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей электрической цепи.

    I закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд не может ни накапливатся, ни убывать. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

    Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в узлах равна нулю.

    Для цепей переменного тока геометрическая сумма токов в узлах равна нулю.

    II закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

    Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

    Для цепей переменного тока геометрическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

    Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.

    1. Произвольно назначают направления токов в ветвях.
    2. Произвольно назначают направления обхода контуров.
    3. Записывают У — 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У — число узлов в цепи).
    4. Записывают В — У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В — число ветвей в цепи).
  • При составлении уравнений слагаемые берут со знаком «+» в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком «-«.
  • Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.
  • Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.
  • Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей. В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:

    Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком «-«.

    Эквивалентные преобразования электрических цепей

    Разнообразие и сложность преобразующих электрическую энергию схем мнимые. Существуют лишь четыре способа соединения электрических элементов:

    • последовательное соединение
    • параллельное соединение
    • соединение элементов звездой
    • соединение элементов треугольником
    • Основные принципы и свойства линейных цепей

      Все методы расчета цепей были разработаны на базе фундаментальных принципов функционирования энергопреобразующих цепей и их общих свойств. Познакомимся с их сутью:

      Принцип суперпозиции

      Действие любого количества источников электрической энергии на линейную электрическую цепь независимо. Ток в любой ветви схемы равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым источником в отдельности.

      Принцип компенсации

      Любой пассивный участок цепи (ветвь или ее часть) с известным напряжением может быть замещён источником ЭДС соответствующего номинала, а любая ветвь цепи с известным током может быть замещена источником тока той же величины. Режим работы оставшихся элементов при этом не изменится.

      Принцип взаимности

      Для любой линейной электрической цепи ток, протекающий в какой-то k-той ветви, который вызван действием ЭДС, находящейся в ветви m, будет равен току, протекающему в ветви m, вызванному действием ЭДС, находящейся в ветви k, которая численно равна первой ЭДС.

      Электрические цепи, для которых этот принцип не соблюдается, называются необратимыми цепями. К ним относятся нелинейные цепи.

      Свойство однозначности состояния

      Линейные электрические цепи обладают свойством однозначности электрического состояния всех элементов.

      Режимы работы цепей

      Многие методы расчета цепей в своей основе опираются на особые, часто встречающиеся и легко идентифицируемые техническими средствами режимы работы энергопреобразующих цепей. Познакомимся с ними:

      Режим холостого хода

      Режим короткого замыкания

      Режим номинальной работы

      Режим согласованной работы

      Эквивалентные замены E и J

      Достаточно часто, до использования того или иного метода расчета цепей требуется несущественная предварительная трансформация электрической схемы, которая заключается в эквивалентной замене всех источников тока источниками ЭДС или наоборот. Познакомимся с сутью этих трансформаций:

      Метод эквивалентных преобразований

      Метод эквивалентных преобразований используется в случае, если цепь содержит лишь один источник электрической энергии. Если это не так, то можно пользоваться принципом суперпозиции, однако придется повторить расчеты столько раз, сколько источников содержит цепь (в таких случаях другие методы потребуют меньше вычислений).

    • С помощью эквивалентных преобразований сводят схему к одному эквивалентному сопротивлению, подключенному к источнику.
    • Уточняют первый неизвестный ток (потребляемый схемой от источника).
    • С помощью обратных преобразований, постепенно восстанавливают схему, попутно уточняя неизвестные токи и напряжения.
    • Метод пропорциональных величин

      Метод эквивалентного генератора

      Метод двух узлов

      Метод контурных токов

      Метод применяется в тех случаях, когда число уравнений, которые должны быть записаны для электрической цепи на основании II-го закона Кирхгофа, меньше, чем число уравнений, которые должны быть записаны на основании I-го закона Кирхгофа.

      При расчёте методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют и решают относительно контурных токов. Токи в смежных ветвях уточняют по принципу суперпозиции. Число неизвестных в методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить по II закону Кирхгофа.

      Выбор К контуров с минимальным количеством элементов (К = В — У + 1).

      Рекомендации к применению метода:

    • Контурные токи желательно направлять в одном направлении.
    • Если требуется определить ток только в одной ветви, то этот ток целесообразно делать контурным.
    • Если в схеме есть ветвь с известным током (например, с источником тока), то этот ток следует сделать контурным, в результате число уравнений уменьшится.
    • Линейные цепи постоянного тока

      Простейшая электрическая цепь

      Электрическая цепь – совокупность электротехнических устройств, обеспечивающий замкнутый контур для электрического тока (направленное движение заряженных частиц).

      Ток: – количество электричества через единицу площади поперечного сечения за единицу времени – постоянный ток.

      – мгновенное значение тока – переменный ток.

      Напряжение – работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда от точки высшего потенциала к точке нижнего потенциала.

      Основными элементами цепи являются: источники, потребители, соединительные провода, измерительные приборы, коммутационный аппарат.

      Источник – устройство, преображающее различные виды энергии в электрическую.

      Основной вид – генератор: преобразует механическую энергию в электрическую.

      Гальванический элемент (батарея): преображает энергию химической реакции в электрическую.

      Каждый источник характеризуется тремя параметрами:

      ЭДС источника [E] – работа сторонних сил по перемещению заряда от точки низшего потенциала к точке высшего потенциала.

      Внешнее сопротивление источника [ro].

      КПД источника [η]:

      Напряжение нагрузки: U12 = U34; ; U=E – ΔU; E=Ir + Ir0.

      Следует помнить, что мы рассматриваем только источники напряжения!

      мощность потерь в самом источнике

      Потребители – устройства, преобразующие электрическую энергию в другие.

      электрическую энергию в механическую.

      электрическую энергию в тепловую (печи сопротивления, нагревательные печи).

      электрическую энергию в световую и тепловую ( электрическая лампа).

      Соединительные провода характеризуются сопротивлением:

      Измерительные приборы: амперметр включают с нагрузкой:

      Напряжение измеряется вольтметром, который включается параллельно нагрузке. Сопротивление обмотки должно быть больше, чем сопротивление нагрузки.

      Активная мощность имеет токовую обмотку и обмотку напряжения, начала которых соединены в одну точку.

      Коммутационный аппарат: замыкает и размыкает цепь.

      Режимы работы электрической цепи

      • Режим холостого хода.
      • Номинальный (рабочий) режим.
      • Режим короткого замыкания.
      • Согласованный режим.
      • 1. Режим холостого хода

        Желательно исключить такие режимы.

        2. Номинальный режим

        Это тот режим , для которого и предназначена электрическая цепь. В этом режиме она может работать сколь угодно долго, и температура всех элементов цепи не будет превышать допустимого значения.

        3. Режим короткого замыкания

        Это аварийный режим.

        4. Режим согласованный

        Это режим, при котором во внешней цепи передается максимальная активная мощность при заданной мощности источника.

        Методы расчета линейных цепей постоянного тока

        Основные законы электрических цепей:

      • Закон Ома — может быть применен для участка электрической цепи и полной электрической цепи.
      • Закон Кирхгофа
      • Узел электрической цепи – точка, в которой сходятся не менее трех токов.

        Ветвь электрической цепи – участок цепи, составленный последующим соединением из сопротивлений, источников, на которых протекает один и тот же ток.

        Ветвь – это участок цепи между двумя узлами.

        I закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов сходится в одном узле и равна нулю.

        II закон Кирхгофа: В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках этого контура. При составлении уравнений условно задаются направлением обхода контура. И ЭДС, совпадающая с обходом контура, берется со знаком «+», а не совпадающая – со знаком «-«.

        При симметрии падений напряжений те напряжения, на участке которых ток совпадает с направлением обхода, берутся со знаком «+», а те напряжения, на участке которых ток не совпадает с направлением обхода, соответственно со знаком «-«.

        Расчет простейших цепей

        Простейшей цепью называется цепь, содержащая один источник питания.

        Рассмотрим виды соединения простейших электрических цепей.

        1) Последовательное соединение потребителей (резисторов)

        По II закону Кирхгофа:

        , EI=I 2 ·rЭКВ – условие баланса цепей.

        2) Параллельное соединение потребителей (резисторов)

        По I закону Кирхгофа:·

        3) Смешанное соединение

        Расчет сложных электрических цепей

        Сложной электрической цепью называется цепь, содержащая несколько источников энергии, несколько контуров.

        Метод по уравнениям Кирхгофа – универсальный метод расчета сложных электрических цепей.

        Считаются заданными значения всех ЭДС источников и значения всех сопротивлений. Нужно определить токи. Для этого:

        1. Определить число ветвей (число токов) – n;

        2. Определить число узлов – m;

        3. Условно задать направление токов в ветвях и составить (m-1) уравнений;

        4. Определить необходимое число уравнений (по II закону Кирхгофа) и выбрать соответствующее число замкнутых контуров n-(m-1).

        5. Выбрать условное направление обхода контуров, составить необходимое число уравнений по II закону Кирхгофа;

        6. Решить полученную систему уравнений и определить все токи. Если в результате токи получились со знаком +, то направление было выбрано правильно.

        model.exponenta.ru

        Алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся к любому узлу электрической цепи, тождественно равна нулю. Согласно этому закону, если к некоторому узлу цепи подсоединено n ветвей с токами i1, i2, ., in, то в любой момент времени

        ,

        где , если направление тока положительно и ориентировано от узла (ток выходит из узла), или , если ток входит в узел. Таким образом, любому узлу цепи соответствует уравнение, связывающее токи в ветвях цепи, соединенных с данным узлом.

        В качестве примера приведем схему на рисунке 1.

        В соответствии с первым законом Кирхгофа:

        .

        Общее число уравнений, которое можно составить по первому закону Кирхгофа для цепи, равно числу узлов цепи .

        Так, для четырех узлов графа (рисунок 2) можно составить следующие четыре уравнения:

        Рис.2.

        узел 1: ,

        узел 2: ,

        узел 3: ,

        узел 4: .

        Первый закон Кирхгофа часто называют законом Кирхгофа для токов и сокращенно в тексте обозначают ЗКТ.

        Число независимых уравнений равно трем, так как любое из этих уравнений отличается от суммы трех остальных только знаком. Итак, если цепь содержит узлов, то для неё можно составить по первому закону Кирхгофа независимых уравнений. Совокупность из N узлов цепи, уравнения для которых образуют систему линейно независимых уравнений, называют совокупностью независимых узлов цепи.

        Примеры на применение первого закона Кирхгофа. Параллельное соединение элементов

        В качестве примера на применение первого закона Кирхгофа рассмотрим параллельное соединение нескольких элементов активных сопротивлений, конденсаторов, катушек индуктивности.

        Особенностью параллельного соединения нескольких элементов является равенство напряжений, приложенных к зажимам любого из элементов, входящих в соединение. Цепь при таком соединении характеризуется только одним независимым узлом.

        Пусть параллельно соединены n элементов активного сопротивления. Если выбрать направления отчетов токов в элементах такими как это показано на рисунке 3, то согласно первому закону Кирхгоффа при параллельном соединении элементов запишем:

        Закон кирхгофа конденсатор

        В соответствии с выбранным направлением обхода по второму закону Кирхгофа получим уравнение:

        характерной особенностью последовательного соединения является равенство токов в каждом из элементов, входящих в соединение.

        При запишем:

        , то есть .

        Таким образом, при последовательном соединении нескольких резисторов эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений, входящих в соединение.

        При последовательном соединении катушек индуктивности (рисунок 8) можно записать:

        .

        Если , то ,

        следовательно .

        Это означает, что эквивалентная индуктивность равна сумме индуктивностей, входящих в последовательное соединение.

        В случае последовательного соединения конденсаторов (рисунок 9) по второму закону Кирхгофа можно записать:

        Заменяя получим: .

        Обратная ёмкость всех конденсаторов, соединенных последовательно, равна сумме обратных ёмкостей конденсаторов, входящих в соединение:

        .

        При этом эквивалентная ёмкость соединения будет меньше наименьшей ёмкости конденсатора, входящего в последовательное соединение.

        Расчет сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа

        Далеко не во всех случаях цепь представляет собой совокупность лишь последовательно и параллельно соединенных ветвей. В качестве примера рассмотрим вариант расчета с помощью уравнений Кирхгофа электрической цепи (рисунок 10). Цепь содержит = 4 узлов и = 6 ветвей, включая источники напряжения.

        Для определения всех токов и напряжений в схеме достаточно найти значения токов во всех ветвях цепи. Зная ток, проходящий через любую из ветвей цепи, можно найти как напряжение этой ветви, так и напряжение между любой парой узлов цепи.

        Если мы зададимся произвольно положительными направлениями токов в ветвях цепи и пронумеруем произвольно эти токи, то по первому закону Кирхгофа можно составить уравнений относительно токов в ветвях цепи.

        По второму закону Кирхгофа будет линейно-независимых уравнений для напряжений ветвей схемы.

        Совокупность из уравнений по первому закону Кирхгофа, и уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, образует систему линейно – независимых уравнений. Эта система будет неоднородной системой уравнений, так как ее свободными членами являются заданные напряжения источников.

        www.activephysic.ru

        Смотрите еще:

        • Александр 2 мировой суд Судебная Реформа 1864 года Одновременно с земской реформой в 1864 г. была проведена судебная реформа. Ее разработали прогрессивные юристы в соответствии с достижениями науки и судебной практики передовых […]
        • Образец заявление на возврат ндфл по патенту Разработана форма заявления на возврат уплаченных авансов по НДФЛ для иностранцев, работающих по патентам ФНС России подготовила документ, позволяющий работникам-иностранцам вернуть часть НДФЛ, уплаченного за […]
        • Моральный ущерб за ушиб Компенсация морального вреда: тенденции российской судебной практики Компенсация морального вреда – один из способов защиты гражданином его нарушенных прав (абз. 11 ст. 12 ГК РФ). Размер компенсации […]
    Закладка Постоянная ссылка.

    Обсуждение закрыто.