Закон распределения разности двух случайных величин

Закон распределения разности двух случайных величин

Если x — случайная величина с областью значений X x и функция f(x) определена на множестве X x , то h = f(x) — тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной величины h по известной функции распределения случайной величины x легко решается, если f(x) — непрерывная монотонно возрастающая функция. Доказано, что тогда функция распределения F h (x) случайной величины h задается формулой F h (x)=F x ([f(x)] -1 ).

Здесь F x (x) — известная функция распределения случайной величины x , а символом [f(x)] -1 обозначена функция, обратная к функции f(x).

Плотность распределения случайной величины h для дифференцируемой f(x) вычисляется по формуле

.

В теории вероятностей часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если x 1 и x 2 — непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно p1(x) и p2(x), то плотность вероятностей суммы h = x 1 + x 2 вычисляется по формуле:

.

Порядок построения распределения произведения двух дискретных случайных величин проще всего объяснить на примере.

Пусть ( x , h ) — дискретный случайный вектор с распределением:

old.exponenta.ru

6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.

Воспользуемся изложенным выше общим методом для решения одной задачи, а именно для нахождения закона распределения суммы двух случайных величин. Имеется система двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,у).

Область D в данном случае — левая нижняя часть пло­скости хОу, заштрихованная на рис. 6.3.1. Согласно формуле (6.3.2) имеем:

Дифференцируя это выражение по переменной z, входящей в верх­ний предел внутреннего интеграла, получим:

Это — общая формула для плотности распределения суммы двух случайных величин.

Из соображений симметричности задачи относительно X и Y можно написать другой вариант той же формулы:

который равносилен первому и может применяться вместо него.

Пример композиции нормальных законов. Рассмотрим две независимые случайные величины X и Y, подчи­ненные нормальным законам:

Требуется произвести композицию этих законов, т. е. найти закон распределения величины: .

Применим общую формулу для композиции законов рас­пределения:

Если раскрыть скобки в показателе степени подынтегральной функции и привести подобные члены, получим:

Подставляя эти выражения в уже встречавшуюся нам формулу

после преобразований получим:

а это есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеи­вания

и среднеквадратическим отклонением

К тому же выводу можно прийти значительно проще с помощью следующих качественных рассуждений.

Не раскрывая скобок и не производя преобразований в подынте­гральной функции (6.3.3), сразу приходим к выводу, что показатель степени есть квадратный трехчлен относительно х вида

где в коэффициент А величина z не входит совсем, в коэффициент В входит в первой степени, а в коэффициент С — в квадрате. Имея это в виду и применяя формулу(6.3.4), приходим к заключению, что g(z) есть показательная функция, показатель степени которой — квадратный трехчлен относительно z, а плотность аспределения; такого вида соответствует нормальному закону. Таким образом, мы; приходим к чисто качественному выводу: закон распределения вели­чины z должен быть нормальным. Чтобы найти параметры этого закона — и — воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий и теоремой сложения дисперсий.

Переходя от среднеквадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим: .

Таким образом, мы пришли к следующему правилу: при компо­зиции нормальных законов получается снова нормальный за­кон, причем математические ожидания и дисперсии (или квад­раты вероятных отклонений) суммируются.

Правило композиции нормальных законов может быть обобщено на случай произвольного числа независимых случайных величин.

Если имеется n независимых случайных величин: подчиненных нормальным законам с центрами рассеивания и среднеквадратическими отклонениями ,то величина также подчинена нормальному закону с параметрами

Вместо формулы (6.3.9) можно применять равносильную ей формулу:

Если система случайных величин (X, Y) распределена по нормальному закону, но величины X, Y зависимы, то нетрудно доказать, так же как раньше, исходя из общей формулы (6.3.1), что закон распределения величины есть тоже нормальный закон. Центры рассеивания по-прежнему складываются алгебраически, но для среднеквадратических отклонений правило становится более сложным: , где, r — коэффициент корреляции величин X и Y.

При сложении нескольких зависимых случайных величин, подчиненных в своей совокупности нормальному закону, закон распределения суммы также оказывается нормальным с параметрами

или в вероятных отклонениях

где — коэффициент корреляции величин Xi, Xj, а суммирование распространяется на все различные попарные комбинации величин .

Мы убедились в весьма важном свойстве нормального закона: при композиции нормальных законов получается снова нормальный закон. Это — так называемое «свойство устойчивости». Закон распределения называется устойчивым, если при композиции двух законов этого типа получается снова закон того же типа. Выше мы показали, что нормальный закон является устойчивым. Свойством устойчивости обладают весьма немногие законы распределения. Закон равномерной плотности неустойчив: при композиции двух законов равномерной плотности на участках от 0 до 1 мы получили закон Симпсона.

Устойчивость нормального закона — одно из существенных условий его широкого распространения на практике. Однако свойством устойчивости, кроме нормального, обладают и некоторые другие законы распределения. Особенностью нор­мального закона является то, что при композиции достаточно боль­шого числа практически произвольных законов распределения суммарный закон оказывается сколь угодно близок к нормальному вне зависимости от того, каковы были законы распределения слагаемых. Это можно проиллюстрировать, например, составляя композицию трех законов равномерной плотности на уча­стках от 0 до 1. Получающийся при этом закон распределения g(z) изображен на рис. 6.3.1. Как видно из чертежа, график функции g(z) весьма напоминает график нормального закона.

scicenter.online

Понятие случайной величины. Действия над случайными величинами. Закон распределения случайной величины

В главе 1 были рассмотрены случайные события и правила определения их вероятностей. Наряду со случайными событиями в теории вероятностей вводится в рассмотрение очень важное понятие случайной величины. Приведем примеры, поясняющие понятие случайной величины.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Пример 2. Размер уклонения точки падения снаряда от цели определяется большим количеством разных факторов, имеющих случайный характер. Поэтом в теории стрельбы учитывается явление рассеивания снарядов около цел и рассматриваются указанные уклонения как случайные величины.

Пример 3. Скорость молекул газа не остается неизменной, а меняется в зависимости от столкновений с другими молекулами. Этих столкновений реализуется много даже в течение короткого промежутка времени. Эксперименты свидетельствует, что при известной скорости молекулы в данный момент нельзя с полной определенностью указать ее значение, например, через 0,01 или 0,001 секунды. Поэтому изменение скоростей молекул газов носит случайных характер.

Приведенные примеры показывают, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнообразных областях науки и техники. В каждом из приведенных примеров мы имеем дело с величинами, характеризующими исследуемое явление. Каждая из этих величин случайным образом принимает различные значения, т.е. заранее сказать, какое значение примет величина, нельзя, так как она от испытания к испытанию меняется случайным образом.

Определение 1. Случайной величиной называется переменная, которая в результате испытания (опыта) в зависимости от случая принимает одно из совокупности возможных своих значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Иначе, случайная переменная величина представляет собой некоторую числовую функцию, которая определена на пространстве элементарных событий Ω. Эта функция ставит в соответствие каждому элементарному событию ω некоторое число. Поэтому более точно определение случайной величины формулируется следующим образом:

Определение 2. Случайной величиной Х называется функция, заданная на множестве элементарных исходов (или пространстве элементарных событий), т.е. Х = f(ω), где ω – элементарный исход (или элементарное событие, принадлежащее пространству Ω, т.е. ωÎ Ω).

Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами Х, Y, Z,…, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z,… Если, например, случайная величина Х имеет несколько возможных значений, то они будут обозначены х, х, х и т.д.

Случайные величины бывают двух типов – дискретными и непрерывными. Дискретная величина принимает конечное или счетное множество значений, а непрерывная случайная величина представляет собой несчетное множество. Таким образом, дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого промежутка.

Случайная величина из примера 1 дискретная, а случайные величины из примеров 2 и 3 непрерывны.

Случайные величины могут складываться, вычитаться и умножаться.

Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина Z=X+Y (Z=XY, Z=X·Y), возможные значения которой состоят из сумм, (разности, произведений) каждого возможного значения Х и каждого возможного значения Y.

Пример 4. Найти сумму Х и Y, если Х принимает значения 1,2,3, а Y: 1,2,3,4.

Решение. Возможные значения суммы Z=X+Y будут следующие Z: 2,3,4,5,6,7.

Пример 5. Найти произведение ХY по значениям Х и Y, приведенным в примере 4.

Решение. ХY: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12.

Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение 3. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, в виде формулы и графически. Простейшим и наиболее распространенным способом задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица (табл.3.1):

einsteins.ru

Специальные разделы математики (Бытовая радиоэлектронная аппаратура). Автор: Ембулаев В.Н., редактор:

Математические операции над случайными величинами

Прерывные случайные величины X и Y называются независимыми, если не зависимы при любых i и j , события X = xi и Y = yj .

Пусть случайная величина X принимает x 1, x 2, x 3, …, x n с вероятностями p 1, p 2, p 3 ,…, p n , соответственно, а Y -значения y 1, y 2, y 3, …, y m , с вероятностями q 1, q 2, q 3, …, q m .

а) Суммой случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z = X + Y , которая принимает все значения вида zij = xi + yj ( i =1,2. n ; j =1,2. m ) с вероятностями pij , причем pij = P ( X = xi ; Y = y j )= P ( X = xi )* PX = xi ( Y = y j ).

Если случайные величины X и Y независимые, то pij = pi + qj .

Аналогично определяется разность и произведение случайных величин.

б) Разностью ( произведением) случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z = X — Y ( Z = XY ), которая принимает все значения вида zij = xi — yj ( zij = xiyj ) с такими же вероятностями, с какими случайная величина Z = X + Y принимает соответствующие значения, т.е. pij = pi + qj .

в) Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется новая случайная величина Z = kX , которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные произведениям значений случайной величины Х на k , т.е. = xi 2 .

г) Квадратом случайной величины Х, т.е. Х 2 , называется новая случайная величина Z = X 2 , которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные квадратам значений случайной величины Х, т.е. zi = xi 2 .

Числовые характеристики дискретных случайных величин

а) Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.:

(22)

или, если случайная величина может принимать счетное число значений , , причем лишь в случае абсолютной сходимости ряда.

Свойства математических ожиданий

Математическое ожидание постоянной величены равно этой постоянной; т.е. если С-постоянная величина, то

. (23)

Постоянный множитель можно выносить за символ математического ожидания, т.е. если k постоянный множитель, то

. (24)

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

. (25)

Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий, т.е.

. (26)

Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

. (27)

6. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на одно и тоже число С , то ее математическое ожидание увеличится (уменьшиться) на это же число

. (28)

б) дисперсией D ( X ) случайной величины Х называется математического ожидания α ( M ( X )= α :

. (29)

в) средним квадратическим отношением G ( X ) ( G ) случайной вершины называется арифметическим значением корня квадратного из дисперсии, т.е.

. (30)

1. Дисперсия постоянной величены равна, т.е. если С постоянная величена, то

. (31)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но возводя его при этом в квадрат, т.е. если k – постоянный множитель, то

. (32)

3. Если все значения случайной величены увеличить или уменьшить на одно и то же число С , то дисперсия не изменится

. (33)

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

. (34)

5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

. (35)

6. Дисперсия случайной величены равна ожиданию квадрата ее без квадрата ее математического ожидания ,т .е .

. (36)

Закон распределения числа наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с постоянной вероятностью p , называется биномиальным. Этот закон имеет вид ( q =1- p ):

abc.vvsu.ru

49Закон распределения суммы случайных величин. Композиция законов распределения.

Одна из важнейших для практики частной задачи, а именно – нахождение закона распределения суммы двух случайных величин.

Пусть имеется система СВ (X,Y) с плотностью распределения f(x,y). Рассмотрим сумму СВ X и Y Z=X+Y и найдем закон распределения случайной величины Z. Для этого построим линию на плоскости ХОУ линию Z=X+Y. Она делит плоскость на две части Z>X+Y и Z<X+Y. Согласно определению функции распределения:

Дифференцируем это выражение по переменной Z, входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получим

(13.1)

Это – общая формула для определения плотности распределения суммы двух случайных величин. Т.к. задача симметрична, то :

. (13.2)

Особое практическое значение имеет случай, когда складываемые СВ (X,Y) независимы. Тогда говорят о композиции законов распределения.

Для независимых случайных величин X и Y

и .

Для обозначения композиции законов применяют символическую запись:.

Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся только параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости.

КОМПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ

Рассмотрим две независимые с.в. Х и У, подчиненные нормальным законам:

и

Требуется найти композицию этих законов, т.е. найти закон распределения величины Z=X+Y.

Применяем общую формулу для композиции законов распределения:

. (13.3)

Раскрываем скобки в показателе степени подынтегральной функции и приводим подобные члены, получаем

, (13.4)

Используя интеграл Эйлера-Пуассона: , получаем

Подставляем значения А, В, С в эту формулу и после преобразований, получаем:

— это и есть нормальный закон с центром рассеивания и средне квадратическим отклонением

Итак, при композиции нормальных законов получается нормальный закон, причем МО и дисперсии(или квадраты с.к.о.) суммируются.

examhack.narod.ru

Смотрите еще:

  • Секретарь суда вакансии Арбитражный суд Алтайского края 07-08 июня 2018 года на базе Арбитражного суда Новосибирской области состоялось заседание Научно-консультативного совета Заседание было посвящено теме: «Проблемы применения […]
  • Глава 31 земельный налог Налоговый Кодекс РФ. Глава 31 Первая часть НК РФ Раздел I. Общие положения Раздел II. Налогоплательщики и плательщики сборов. Налоговые агенты. Представительство в налоговых правоотношениях Раздел III. […]
  • Назовите принцип по налогам Принципы построения налоговой системы РФ Отправить на почту Принципы построения налоговой системы определяют взаимоотношения налогоплательщиков и государства. Это основа для функционирования всей системы […]
Закладка Постоянная ссылка.

Обсуждение закрыто.